Calcular as integrais: d) integral-infty^infty x^2 de;

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício envolve o estudo das funções delta de Dirac e suas derivadas, que são conceitos da distribuição matemática usadas, por exemplo, em física para representar cargas ou massas pontuais. Para resolver, vamos precisar entender como a derivada da função delta atua sobre uma função qualquer dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a função delta de Dirac, integral-infty^infty f(x) de, possui a propriedade de “pegar” o valor da função onde integral-infty^infty f(x) de, ou seja:
Quando lidamos com a derivada da função delta, , a propriedade muda. A integral envolvendo e uma função é dada por:
Isso significa que a integral da função vezes a derivada da delta de Dirac resulta no negativo da derivada de avaliada em .

Passo 3

No nosso caso, a integral é:
integral-infty^infty x^2 de
Aqui, integral-infty^infty x^2 de e (pois temos ).
Aplicando a propriedade mencionada:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de f(x) = x^2 f^prime(x) = 2x :
f^prime(-1) = 2(-1) = -2
Então, avaliando a derivada em :

Passo 5

Substituindo esse valor de volta na expressão da integral:
integral-infty^infty x^2 de

Resposta

O valor da integral é .

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