Calcular as integrais: d)
;
Passo 1
Vamos resolver a integral
. Esse exercício envolve o estudo das funções delta de Dirac e suas derivadas, que são conceitos da distribuição matemática usadas, por exemplo, em física para representar cargas ou massas pontuais. Para resolver, vamos precisar entender como a derivada da função delta atua sobre uma função qualquer dentro da integral.
Passo 2
Primeiro, lembramos que a função delta de Dirac,
, possui a propriedade de “pegar” o valor da função onde
, ou seja:
Quando lidamos com a derivada da função delta,
, a propriedade muda. A integral envolvendo
e uma função
é dada por:
Isso significa que a integral da função
vezes a derivada da delta de Dirac resulta no negativo da derivada de
avaliada em
.
Passo 3
No nosso caso, a integral é:
Aqui,
e
(pois temos
).
Aplicando a propriedade mencionada:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada de
:
Então, avaliando a derivada em
:
Passo 5
Substituindo esse valor de volta na expressão da integral:
Resposta
O valor da integral é
.