Let
be the region bounded below by the plane
, above by the sphere
, and on the sides by the cylinder
. Set up the triple integrals in cylindrical coordinates that give the volume of
using the following orders of integration.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma região
que está limitada por três superfícies:
- Plano inferior:
- Esfera:
- Cilindro:
Queremos encontrar o volume dessa região usando coordenadas cilíndricas e configurando a integral tripla na ordem
. Para isso, vamos precisar entender como converter essas equações para coordenadas cilíndricas e definir os limites de integração para
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como são as coordenadas cilíndricas:
E a relação entre coordenadas cartesianas e cilíndricas para a função radial é
.
Passo 3
Vamos converter as equações das superfícies para coordenadas cilíndricas:
- Plano
: Já está na forma . - Esfera
: Em coordenadas cilíndricas, fica , ou seja, . - Cilindro
: Em coordenadas cilíndricas, isso é simplesmente .
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração para cada variável:
-
: Como o cilindro é completo ao redor do eixo , varia de a . -
: O cilindro restringe a ser no máximo 1, então varia de a . -
: Para cada , vai do plano inferior até a esfera .
Passo 5
Com os limites definidos, vamos montar a integral tripla. Lembrando que em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é
.
Então, a integral fica:
Resposta
A integral tripla em coordenadas cilíndricas na ordem
que representa o volume de
é: