Let D be the region bounded below by the plane z = 0, above by the sphere x^2 + y^2 + z^2 = 4, and on the sides by the cylinder x^2 + y^2 = 1. Set up the triple integrals in cylindrical coordinates that give the volume of D using the following orders of integration.
d z d r d theta

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma região que está limitada por três superfícies:
  1. Plano inferior:
  2. Esfera:
  3. Cilindro:
Queremos encontrar o volume dessa região usando coordenadas cilíndricas e configurando a integral tripla na ordem . Para isso, vamos precisar entender como converter essas equações para coordenadas cilíndricas e definir os limites de integração para , e .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como são as coordenadas cilíndricas:
E a relação entre coordenadas cartesianas e cilíndricas para a função radial é .

Passo 3

Vamos converter as equações das superfícies para coordenadas cilíndricas:
  1. Plano : Já está na forma .
  2. Esfera : Em coordenadas cilíndricas, fica , ou seja, .
  3. Cilindro : Em coordenadas cilíndricas, isso é simplesmente .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração para cada variável:
  • : Como o cilindro é completo ao redor do eixo , varia de a .
  • : O cilindro restringe a ser no máximo 1, então varia de a .
  • : Para cada , vai do plano inferior até a esfera .

Passo 5

Com os limites definidos, vamos montar a integral tripla. Lembrando que em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é .
Então, a integral fica:

Resposta

A integral tripla em coordenadas cilíndricas na ordem que representa o volume de é:

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