Calcular as integrais: a) integral-infty^infty e^-x de;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que envolve a função delta de Dirac. A questão pede para calcular:
integral-infty^infty e^-x de
Aqui, estamos lidando com integrais que incluem a função delta, que é super útil para “selecionar” valores específicos onde a função dentro da delta se anula. Para resolver isso, vamos precisar entender onde e usar a propriedade da função delta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as raízes da equação x^4 - 5x^2 + 4 = (x^2 - 1)(x^2 - 4) = 0 . Podemos fatorar essa equação assim:
x = pm1 e x = pm2
Isso nos dá as soluções:

Passo 3

Agora, vamos usar a propriedade da função delta:
integral-infty^infty f(x) de
onde são as raízes de e é a derivada de .

Passo 4

Vamos calcular a derivada de g'(x) = 4x^3 - 10x :
g'(1) = 4(1)^3 - 10(1) = 4 - 10 = -6 Rightarrow |g'(1)| = 6
Agora, vamos avaliar g'(-1) = 4(-1)^3 - 10(-1) = -4 + 10 = 6 Rightarrow |g'(-1)| = 6 nas raízes que encontramos:
  • Para g'(2) = 4(2)^3 - 10(2) = 32 - 20 = 12 Rightarrow |g'(2)| = 12 :
    g'(-2) = 4(-2)^3 - 10(-2) = -32 + 20 = -12 Rightarrow |g'(-2)| = 12
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Agora, aplicamos a propriedade da delta. Nossa função integral-infty^infty e^-x de é , então substituímos nas fórmulas:

Resposta

A integral vale:
e^-16 + e^16 + e^-212 + e^212

Exercícios relacionados

Encontrar os resíduos nos pontos singulares da função f(z) para: c) f(z) = z / ((z + 1)^(3) * (z - 2)^(2));
Encontrar os pontos singulares e determinar o tipo deles da função f(z) para: c) f(z) = (1 - cos(z)) / z^2;
Calcular as integrais: d) integral-infty^infty x^2 de;
Calcule integral triplaE 1x^2+y^2+z^2 d V onde E é a região de R^3 que está dentro da esfera x^2+y^2+z^2=4, fora da esfera x^2+y^2+z^2=1, acima do plano z=0 e externa ao semicone z=13 raiz3 x^2+3 y^2.