Calcular as integrais: a)
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral que envolve a função delta de Dirac. A questão pede para calcular:
Aqui, estamos lidando com integrais que incluem a função delta, que é super útil para “selecionar” valores específicos onde a função dentro da delta se anula. Para resolver isso, vamos precisar entender onde
e usar a propriedade da função delta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as raízes da equação
. Podemos fatorar essa equação assim:
Isso nos dá as soluções:
Passo 3
Agora, vamos usar a propriedade da função delta:
onde
são as raízes de
e
é a derivada de
.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
:
Agora, vamos avaliar
nas raízes que encontramos:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 5
Agora, aplicamos a propriedade da delta. Nossa função
é
, então substituímos nas fórmulas:
Resposta
A integral vale:
Exercícios relacionados
Encontrar os resíduos nos pontos singulares da função
para: c)
;
Encontrar os pontos singulares e determinar o tipo deles da função
para: c)
;
Calcular as integrais: d)
;
Calcule
onde
é a região de
que está dentro da esfera
, fora da esfera
, acima do plano
e externa ao semicone
.