Encontrar os resíduos nos pontos singulares da função
para: c)
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os resíduos nos pontos singulares da função
. Isso faz parte da matéria de Análise Complexa, especificamente sobre resíduos e pontos singulares. Para resolver, vamos identificar onde a função tem pontos singulares e, em seguida, calcular o resíduo em cada um desses pontos.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os pontos singulares da função
. Pontos singulares ocorrem onde a função não é analítica, ou seja, onde o denominador é zero.
Olhemos para o denominador:
.
-
quando -
quando
Então, os pontos singulares são
e
.
Passo 3
Agora, vamos determinar o tipo e a ordem de cada ponto singular:
- Em
, o denominador tem o fator , o que significa que é um polo de ordem 3. - Em
, o denominador tem o fator , então é um polo de ordem 2.
Com isso, sabemos que ambos os pontos são polos, com diferentes ordens.
Passo 4
Para calcular o resíduo em cada polo, usamos fórmulas específicas dependendo da ordem do polo. A fórmula geral para um polo de ordem
em
é:
Isso significa que precisamos derivar
vezes e então avaliar o limite em
.
Passo 5
Vamos calcular o resíduo em
, que é um polo de ordem 3.
Aplicando a fórmula:
Simplificando a expressão dentro da derivada:
Então:
Passo 6
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Aplicando a regra do quociente novamente:
Agora, avaliamos o limite em
:
Portanto:
Passo 7
Agora, vamos calcular o resíduo em
, que é um polo de ordem 2.
Aplicando a fórmula:
Simplificando a expressão dentro da derivada:
Então:
Passo 8
Vamos calcular a derivada de
:
Agora, avaliamos o limite em
:
Resposta
Os resíduos da função
são:
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Encontrar os pontos singulares e determinar o tipo deles da função
para: c)
;
O ponto
é o zero da ordem
da função
e o zero da ordem
da função
. O zero da qual ordem é
para funções: a)
;
Calcular as integrais: a)
;
Calcular as integrais: d)
;