Encontrar os resíduos nos pontos singulares da função f(z) para: c) f(z) = z / ((z + 1)^(3) * (z - 2)^(2));

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os resíduos nos pontos singulares da função . Isso faz parte da matéria de Análise Complexa, especificamente sobre resíduos e pontos singulares. Para resolver, vamos identificar onde a função tem pontos singulares e, em seguida, calcular o resíduo em cada um desses pontos.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os pontos singulares da função . Pontos singulares ocorrem onde a função não é analítica, ou seja, onde o denominador é zero.
Olhemos para o denominador: .
  • quando
  • quando
Então, os pontos singulares são e .

Passo 3

Agora, vamos determinar o tipo e a ordem de cada ponto singular:
  • Em , o denominador tem o fator , o que significa que é um polo de ordem 3.
  • Em , o denominador tem o fator , então é um polo de ordem 2.
Com isso, sabemos que ambos os pontos são polos, com diferentes ordens.

Passo 4

Para calcular o resíduo em cada polo, usamos fórmulas específicas dependendo da ordem do polo. A fórmula geral para um polo de ordem em é:
Isso significa que precisamos derivar vezes e então avaliar o limite em .

Passo 5

Vamos calcular o resíduo em , que é um polo de ordem 3.
Aplicando a fórmula:
Simplificando a expressão dentro da derivada:
Então:

Passo 6

Agora, vamos calcular a segunda derivada de .
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Aplicando a regra do quociente novamente:
Agora, avaliamos o limite em :
Portanto:

Passo 7

Agora, vamos calcular o resíduo em , que é um polo de ordem 2.
Aplicando a fórmula:
Simplificando a expressão dentro da derivada:
Então:

Passo 8

Vamos calcular a derivada de :
Agora, avaliamos o limite em :

Resposta

Os resíduos da função são:

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Encontrar os pontos singulares e determinar o tipo deles da função f(z) para: c) f(z) = (1 - cos(z)) / z^2;
O ponto z0 é o zero da ordem m da função phi(z) e o zero da ordem n da função psi(z). O zero da qual ordem é z0 para funções: a) phi(z) + psi(z);
Calcular as integrais: a) integral-infty^infty e^-x de;
Calcular as integrais: d) integral-infty^infty x^2 de;