Calcule integral triplaE 1x^2+y^2+z^2 d V onde E é a região de R^3 que está dentro da esfera x^2+y^2+z^2=4, fora da esfera x^2+y^2+z^2=1, acima do plano z=0 e externa ao semicone z=13 raiz3 x^2+3 y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral tripla de sobre a região no espaço tridimensional. A região está dentro da esfera de raio 2 ( ), fora da esfera de raio 1 ( ), acima do plano e fora de um semicone definido por . Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que facilitam bastante a integração em regiões esféricas e cônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como transformar a integral para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por três parâmetros: x = r sinphi costheta, y = r sinphi sintheta, z = r cosphi (a distância até a origem), dV = r^2 sinphi , dr , dphi , dtheta (o ângulo no plano ) e (o ângulo em relação ao eixo ). A relação entre as coordenadas cartesianas e esféricas é:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função que estamos integrando. A expressão 1x^2+y^2+z^2 = 1r^2 fica mais simples em coordenadas esféricas, pois integral triplaE 1r^2 cdot r^2 sinphi , dr , dphi , dtheta = integral triplaE sinphi , dr , dphi , dtheta . Então, a função se torna:
Portanto, a integral tripla original fica:

Passo 4

Vamos agora determinar os limites de integração para , e com base na descrição da região :
  1. Para : A região está entre as esferas de raio 1 e 2, então varia de 1 a 2.
  2. Para : Como a região é simétrica em torno do eixo , varia de 0 a .
  3. Para : A região está acima do plano e fora do semicone . Isso significa que varia de 0 até o ângulo do semicone, que é .

Passo 5

Com os limites estabelecidos, nossa integral fica:
integralr=1^2 integralphi=0^arccos(1raiz3) integraltheta=0^2pi sinphi , dtheta , dphi , dr
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 6

Primeiro, integremos em relação a integral0^2pi dtheta = 2pi :
2pi integral1^2 integral0^arccos(1raiz3) sinphi , dphi , dr
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a integral0^arccos(1raiz3) sinphi , dphi = -cosphi g|0^arccos(1raiz3) = -cos(arccos(1raiz3)) + cos(0) = -1raiz3 + 1 :
2pi (1 - 1raiz3) integral1^2 dr
Portanto, a integral se simplifica para:

Passo 8

Finalmente, vamos integrar em relação a integral1^2 dr = 2 - 1 = 1 :
2pi (1 - 1raiz3) times 1 = 2pi (1 - 1raiz3)
Então, o valor total da integral é:

Resposta

A integral tripla vale .

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