Calcule onde é a região de que está dentro da esfera , fora da esfera , acima do plano e externa ao semicone .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral tripla de sobre a região no espaço tridimensional. A região está dentro da esfera de raio 2 (), fora da esfera de raio 1 (), acima do plano e fora de um semicone definido por . Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que facilitam bastante a integração em regiões esféricas e cônicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como transformar a integral para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por três parâmetros: (a distância até a origem), (o ângulo no plano ) e (o ângulo em relação ao eixo ). A relação entre as coordenadas cartesianas e esféricas é:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função que estamos integrando. A expressão fica mais simples em coordenadas esféricas, pois . Então, a função se torna:
Portanto, a integral tripla original fica:
Passo 4
Vamos agora determinar os limites de integração para , e com base na descrição da região :
Para : A região está entre as esferas de raio 1 e 2, então varia de 1 a 2.
Para : Como a região é simétrica em torno do eixo , varia de 0 a .
Para : A região está acima do plano e fora do semicone . Isso significa que varia de 0 até o ângulo do semicone, que é .
Passo 5
Com os limites estabelecidos, nossa integral fica:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 6
Primeiro, integremos em relação a :
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar em relação a :
Portanto, a integral se simplifica para:
Passo 8
Finalmente, vamos integrar em relação a integral1^2 dr = 2 - 1 = 1 :