Calcular as integrais definidas abaixo
21.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral definida . Primeiro, vamos entender o que estamos fazendo aqui. A matéria envolve cálculo de integrais, especificamente integrais definidas com valor absoluto. Para resolver isso, vamos precisar identificar onde a expressão dentro do valor absoluto muda de sinal, ou seja, onde .

Passo 2

Vamos resolver a equação para encontrar os pontos onde a expressão muda de sinal. Isso nos ajuda a dividir a integral em partes onde a função dentro do valor absoluto é positiva ou negativa.

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática:
Fatorando, temos:
Portanto, as soluções são e .

Passo 4

Agora que sabemos que a expressão muda de sinal nos pontos e , vamos dividir a integral em intervalos com base nesses pontos:
  • De a 1
  • De 1 a 2
  • De 2 a 4

Passo 5

Em cada intervalo, vamos determinar o sinal de :
  • Para , por exemplo, : (positivo)
  • Para , por exemplo, : (negativo)
  • Para , por exemplo, : (positivo)

Passo 6

Com isso, podemos reescrever a integral sem o valor absoluto, levando em conta os sinais:

Passo 7

Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente. Vou mostrar o caso onde para exemplificar:
Primeiro, integramos :
Segundo, integramos :

Passo 8

Agora, aplicamos os limites de integração para cada intervalo:
Para :

Passo 9

Finalmente, somamos os resultados dessas integrais para obter o valor total da integral definida.

Resposta

O valor da integral depende do valor de e pode ser calculado conforme os intervalos definidos nos passos anteriores. Para cada intervalo de , substitua nos limites de integração e some os resultados para obter a resposta final.

Exercícios relacionados

Utilize o Teorema 10 para encontrar a curvatura.
Calcular as integrais definidas abaixo
17.
Use a fórmula
onde os pontos indicam derivadas a respeito de (veja o Exercício 36 no texto) para encontrar a curvatura da curva paramétrica.
Use a fórmula
onde os pontos indicam derivadas a respeito de (veja o Exercício 36 no texto) para encontrar a curvatura da curva paramétrica.