Calcular as integrais definidas abaixo
21. integraln^4|x^2-3 x+2| d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral definida . Primeiro, vamos entender o que estamos fazendo aqui. A matéria envolve cálculo de integrais, especificamente integrais definidas com valor absoluto. Para resolver isso, vamos precisar identificar onde a expressão dentro do valor absoluto muda de sinal, ou seja, onde .

Passo 2

Vamos resolver a equação para encontrar os pontos onde a expressão muda de sinal. Isso nos ajuda a dividir a integral em partes onde a função dentro do valor absoluto é positiva ou negativa.

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática:
x^2 - 3x + 2 = 0
Fatorando, temos:
(x - 1)(x - 2) = 0
Portanto, as soluções são e .

Passo 4

Agora que sabemos que a expressão muda de sinal nos pontos e , vamos dividir a integral em intervalos com base nesses pontos:
  • De a 1
  • De 1 a 2
  • De 2 a 4

Passo 5

Em cada intervalo, vamos determinar o sinal de :
  • Para , por exemplo, : (positivo)
  • Para , por exemplo, : (negativo)
  • Para , por exemplo, : (positivo)

Passo 6

Com isso, podemos reescrever a integral sem o valor absoluto, levando em conta os sinais:
integraln^4 |x^2 - 3x + 2| dx = integraln^1 (x^2 - 3x + 2) dx + integral1^2 -(x^2 - 3x + 2) dx + integral2^4 (x^2 - 3x + 2) dx & se n < 1 integral1^2 -(x^2 - 3x + 2) dx + integral2^4 (x^2 - 3x + 2) dx & se 1 <= n < 2 integral2^4 (x^2 - 3x + 2) dx & se n >= 2

Passo 7

Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente. Vou mostrar o caso onde integral (x^2 - 3x + 2) dx = x^33 - 3x^22 + 2x + C para exemplificar:
Primeiro, integramos integral -(x^2 - 3x + 2) dx = -x^33 + 3x^22 - 2x + C :
Segundo, integramos :

Passo 8

Agora, aplicamos os limites de integração para cada intervalo:
Para integraln^1 (x^2 - 3x + 2) dx = [x^33 - 3x^22 + 2x]n^1 :
integral1^2 -(x^2 - 3x + 2) dx = [-x^33 + 3x^22 - 2x]1^2
integral2^4 (x^2 - 3x + 2) dx = [x^33 - 3x^22 + 2x]2^4

Passo 9

Finalmente, somamos os resultados dessas integrais para obter o valor total da integral definida.

Resposta

O valor da integral depende do valor de e pode ser calculado conforme os intervalos definidos nos passos anteriores. Para cada intervalo de , substitua nos limites de integração e some os resultados para obter a resposta final.

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