Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral definida . Primeiro, vamos entender o que estamos fazendo aqui. A matéria envolve cálculo de integrais, especificamente integrais definidas com valor absoluto. Para resolver isso, vamos precisar identificar onde a expressão dentro do valor absoluto muda de sinal, ou seja, onde .
Passo 2
Vamos resolver a equação para encontrar os pontos onde a expressão muda de sinal. Isso nos ajuda a dividir a integral em partes onde a função dentro do valor absoluto é positiva ou negativa.
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática:
Fatorando, temos:
Portanto, as soluções são e .
Passo 4
Agora que sabemos que a expressão muda de sinal nos pontos e , vamos dividir a integral em intervalos com base nesses pontos:
De a 1
De 1 a 2
De 2 a 4
Passo 5
Em cada intervalo, vamos determinar o sinal de :
Para , por exemplo, : (positivo)
Para , por exemplo, : (negativo)
Para , por exemplo, : (positivo)
Passo 6
Com isso, podemos reescrever a integral sem o valor absoluto, levando em conta os sinais:
Passo 7
Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente. Vou mostrar o caso onde para exemplificar:
Primeiro, integramos :
Segundo, integramos :
Passo 8
Agora, aplicamos os limites de integração para cada intervalo:
Para :
Passo 9
Finalmente, somamos os resultados dessas integrais para obter o valor total da integral definida.
Resposta
O valor da integral depende do valor de e pode ser calculado conforme os intervalos definidos nos passos anteriores. Para cada intervalo de , substitua nos limites de integração e some os resultados para obter a resposta final.