Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa usar o Teorema 10 para encontrar a curvatura da curva definida pela função vetorial . A matéria aqui envolve cálculo vetorial, especificamente o estudo de curvas no espaço e como medir quão “curvada” elas são através da curvatura.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é a curvatura. A curvatura de uma curva em um dado ponto mede a rapidez com que a direção da curva está mudando naquele ponto. O Teorema 10 nos dá uma fórmula para calcular a curvatura de uma curva definida por uma função vetorial :
Aqui, é a primeira derivada da função vetorial, que representa a velocidade, e é a segunda derivada, que representa a aceleração. O símbolo representa o produto vetorial, e denota a norma (ou magnitude) do vetor.
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira derivada . Dada:
Derivando em relação a :
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada . Derivando em relação a :
Passo 5
Em seguida, precisamos calcular o produto vetorial . Vamos multiplicar os vetores:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Sabemos que , então:
Passo 6
Agora, vamos calcular a norma desse produto vetorial :
Simplificando:
Passo 7
Em seguida, precisamos calcular a norma da primeira derivada :