Utilize o Teorema 10 para encontrar a curvatura.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa usar o Teorema 10 para encontrar a curvatura da curva definida pela função vetorial . A matéria aqui envolve cálculo vetorial, especificamente o estudo de curvas no espaço e como medir quão “curvada” elas são através da curvatura.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é a curvatura. A curvatura de uma curva em um dado ponto mede a rapidez com que a direção da curva está mudando naquele ponto. O Teorema 10 nos dá uma fórmula para calcular a curvatura de uma curva definida por uma função vetorial :
Aqui, é a primeira derivada da função vetorial, que representa a velocidade, e é a segunda derivada, que representa a aceleração. O símbolo representa o produto vetorial, e denota a norma (ou magnitude) do vetor.

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada . Dada:
Derivando em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada . Derivando em relação a :

Passo 5

Em seguida, precisamos calcular o produto vetorial . Vamos multiplicar os vetores:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Sabemos que , então:

Passo 6

Agora, vamos calcular a norma desse produto vetorial :
Simplificando:

Passo 7

Em seguida, precisamos calcular a norma da primeira derivada :

Passo 8

Agora, substituímos tudo na fórmula da curvatura:
Simplificando o denominador:
Portanto:

Resposta

A curvatura da curva dada é:

Exercícios relacionados

Calcular as integrais definidas abaixo
17.
Utilize o Teorema 10 para encontrar a curvatura.
Calcular as integrais definidas abaixo
21.
Use a fórmula
onde os pontos indicam derivadas a respeito de (veja o Exercício 36 no texto) para encontrar a curvatura da curva paramétrica.