Use a fórmula
kappa = |dot(x) * ddot(y) - dot(y) * ddot(x)| / [(dot(x)^2 + dot(y)^2)^(3/2)]
onde os pontos indicam derivadas a respeito de t (veja o Exercício 36 no texto) para encontrar a curvatura da curva paramétrica. x = t sen(t), y = t cos(t)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo de curvatura usando a fórmula:
Aqui, e . Para encontrar a curvatura dessa curva paramétrica, precisamos calcular as primeiras e segundas derivadas de e em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de :
Usando a regra do produto (derivada de é ):

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de :
Derivando novamente:

Passo 4

Em seguida, calculamos a primeira derivada de :
Usando a regra do produto:

Passo 5

Agora, calculamos a segunda derivada de :
Derivando novamente:

Passo 6

Com todas as derivadas calculadas, vamos substituir na fórmula da curvatura:
Substituindo os valores:
Vamos simplificar o numerador e o denominador separadamente.
Numerador:
Multiplicando:
Simplificando:
Tomando o valor absoluto:
Denominador:
Expandindo:
Elevando ao :

Resposta

Substituindo o numerador e o denominador simplificados na fórmula da curvatura:
Portanto, a curvatura da curva paramétrica , é:

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