Use a fórmula
onde os pontos indicam derivadas a respeito de
(veja o Exercício 36 no texto) para encontrar a curvatura da curva paramétrica.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo de curvatura usando a fórmula:
Aqui,
e
. Para encontrar a curvatura
dessa curva paramétrica, precisamos calcular as primeiras e segundas derivadas de
e
em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de
:
Usando a regra do produto (derivada de
é
):
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
:
Derivando novamente:
Passo 4
Em seguida, calculamos a primeira derivada de
:
Usando a regra do produto:
Passo 5
Agora, calculamos a segunda derivada de
:
Derivando novamente:
Passo 6
Com todas as derivadas calculadas, vamos substituir na fórmula da curvatura:
Substituindo os valores:
Vamos simplificar o numerador e o denominador separadamente.
Numerador:
Multiplicando:
Simplificando:
Tomando o valor absoluto:
Denominador:
Expandindo:
Elevando ao
:
Resposta
Substituindo o numerador e o denominador simplificados na fórmula da curvatura:
Portanto, a curvatura da curva paramétrica
,
é: