Use a fórmula
onde os pontos indicam derivadas a respeito de
(veja o Exercício 36 no texto) para encontrar a curvatura da curva paramétrica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a curvatura de uma curva paramétrica usando a fórmula dada. A curva é definida por
e
, onde
é o parâmetro. Para isso, vamos precisar derivar essas funções em relação a
e aplicar a fórmula da curvatura.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da curvatura para uma curva paramétrica:
Aqui,
e
são as primeiras derivadas de
e
em relação a
, e
e
são as segundas derivadas.
Passo 3
Vamos calcular as primeiras derivadas de
e
em relação a
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, vamos calcular as segundas derivadas de
e
em relação a
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Com as derivadas em mãos, vamos substituir na fórmula da curvatura:
Primeiro, calculemos o numerador:
Agora, o denominador:
Passo 6
Vamos simplificar o denominador:
Então,
Passo 7
Agora, colocando tudo junto na fórmula da curvatura:
Resposta
A curvatura da curva paramétrica
e
é: