Use a fórmula
onde os pontos indicam derivadas a respeito de (veja o Exercício 36 no texto) para encontrar a curvatura da curva paramétrica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a curvatura de uma curva paramétrica usando a fórmula dada. A curva é definida por e , onde é o parâmetro. Para isso, vamos precisar derivar essas funções em relação a e aplicar a fórmula da curvatura.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da curvatura para uma curva paramétrica:
Aqui, e são as primeiras derivadas de e em relação a , e e são as segundas derivadas.

Passo 3

Vamos calcular as primeiras derivadas de e em relação a :
Para :
Para :

Passo 4

Agora, vamos calcular as segundas derivadas de e em relação a :
Para :
Para :

Passo 5

Com as derivadas em mãos, vamos substituir na fórmula da curvatura:
Primeiro, calculemos o numerador:
Agora, o denominador:

Passo 6

Vamos simplificar o denominador:
Então,

Passo 7

Agora, colocando tudo junto na fórmula da curvatura:

Resposta

A curvatura da curva paramétrica e é:

Exercícios relacionados

Calcular as integrais definidas abaixo
21.
Utilize o Teorema 10 para encontrar a curvatura.
Use a fórmula
onde os pontos indicam derivadas a respeito de (veja o Exercício 36 no texto) para encontrar a curvatura da curva paramétrica.
Calcule o volume do conjunto dado.
a) e ; (Dica: Use a fórmula estudada em aula para integrais triplas. A resposta é .)