onde os pontos indicam derivadas a respeito de (veja o Exercício 36 no texto) para encontrar a curvatura da curva paramétrica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a curvatura de uma curva paramétrica usando a fórmula dada. A curva é definida por e , onde é o parâmetro. Para isso, vamos precisar derivar essas funções em relação a e aplicar a fórmula da curvatura.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da curvatura para uma curva paramétrica:
Aqui, e são as primeiras derivadas de e em relação a , e e são as segundas derivadas.
Passo 3
Vamos calcular as primeiras derivadas de e em relação a :
Para :
Para :
Passo 4
Agora, vamos calcular as segundas derivadas de e em relação a :
Para :
Para :
Passo 5
Com as derivadas em mãos, vamos substituir na fórmula da curvatura:
Primeiro, calculemos o numerador:
Agora, o denominador:
Passo 6
Vamos simplificar o denominador:
Então,
Passo 7
Agora, colocando tudo junto na fórmula da curvatura: