Calcular as integrais definidas.
h) integralpi / 4^3 pi / 4 sen x cos x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma integral definida que está no enunciado: . Esse exercício é da matéria de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integração de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que pode ser simplificado usando a identidade trigonométrica de dupla ângulo. A identidade que vamos usar é:
Então, podemos reescrever como:

Passo 3

Agora que simplificamos a expressão, nossa integral fica:
Podemos tirar o integralpi / 4^3 pi / 4 sen x cos x , dx = integralpi / 4^3 pi / 4 12 sen(2x) , dx que é constante para fora da integral:

Passo 4

Vamos agora integrar . A integral de é integral sen(2x) , dx = -12 cos(2x) + C . Aqui, 12 [ -12 cos(2x) ]pi / 4^3 pi / 4 = -14 [ cos(2x) ]pi / 4^3 pi / 4 , então:
Aplicando isso na nossa integral definida:

Passo 5

Agora, vamos calcular cos(2 cdot 3pi4) = cos(3pi2) = 0 nos limites de integração:
Para cos(2 cdot pi4) = cos(pi2) = 0 :
Para :

Passo 6

Substituindo os valores na expressão:
-14 [ 0 - 0 ] = -14 cdot 0 = 0

Resposta

O valor da integral definida é .

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