Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
n)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa questão envolve o conteúdo de integração por partes, que é uma técnica útil quando temos o produto de duas funções. Para resolver isso, vamos precisar saber identificar quais partes da integral serão e .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e . Na integração por partes, escolhemos como a parte que fica mais simples quando derivada, e como a parte que conseguimos integrar facilmente.
Aqui, podemos escolher:
  • (porque a derivada de é simples)
  • (vamos precisar encontrar , que é a integral de )

Passo 3

Agora, vamos derivar e integrar :
  • Derivada de :
  • Integral de :
Precisamos encontrar . Isso parece complicado, mas podemos simplificar usando identidades trigonométricas.

Passo 4

Sabemos que pode ser reescrita usando a identidade . No entanto, essa abordagem ainda complica a integral. Então, vamos reconsiderar nossa escolha de e .
Vamos tentar novamente:
Agora, derivamos e integramos :
  • Derivada de : (usando a regra da cadeia)
  • Integral de :
Essa abordagem também está complicando a integral. Portanto, parece que a integração por partes direta não é a melhor estratégia aqui.

Passo 5

Vamos tentar uma substituição trigonométrica. Observe que , mas isso não simplifica diretamente. Alternativamente, podemos tentar expandir em série, mas isso não facilita a integração.
Diante disso, parece que a integral não possui uma expressão em termos de funções elementares. Ou seja, não conseguimos expressar essa integral usando funções básicas como polinômios, exponenciais, logaritmos, senos e cossenos.

Resposta

A integral não pode ser expressa em termos de funções elementares.

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l)
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j)
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l)
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h)