Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
n)
n)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Essa questão envolve o conteúdo de integração por partes, que é uma técnica útil quando temos o produto de duas funções. Para resolver isso, vamos precisar saber identificar quais partes da integral serão
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
. Na integração por partes, escolhemos
como a parte que fica mais simples quando derivada, e
como a parte que conseguimos integrar facilmente.
Aqui, podemos escolher:
-
(porque a derivada de é simples) -
(vamos precisar encontrar , que é a integral de )
Passo 3
Agora, vamos derivar
e integrar
:
- Derivada de
: - Integral de
:
Precisamos encontrar
. Isso parece complicado, mas podemos simplificar usando identidades trigonométricas.
Passo 4
Sabemos que
pode ser reescrita usando a identidade
. No entanto, essa abordagem ainda complica a integral. Então, vamos reconsiderar nossa escolha de
e
.
Vamos tentar novamente:
Agora, derivamos
e integramos
:
- Derivada de
: (usando a regra da cadeia) - Integral de
:
Essa abordagem também está complicando a integral. Portanto, parece que a integração por partes direta não é a melhor estratégia aqui.
Passo 5
Vamos tentar uma substituição trigonométrica. Observe que
, mas isso não simplifica diretamente. Alternativamente, podemos tentar expandir
em série, mas isso não facilita a integração.
Diante disso, parece que a integral
não possui uma expressão em termos de funções elementares. Ou seja, não conseguimos expressar essa integral usando funções básicas como polinômios, exponenciais, logaritmos, senos e cossenos.
Resposta
A integral
não pode ser expressa em termos de funções elementares.
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