Resolva as integrais indefinidas usando o método da substituição trigonométrica.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. Aqui, estamos lidando com integrais que envolvem radicais quadráticos, e vamos usar o método da substituição trigonométrica. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre identidades trigonométricas e como elas ajudam a simplificar integrais complicadas.
Passo 2
Primeiro, observamos que dentro da raiz temos
. Isso sugere uma substituição trigonométrica do tipo
, porque sabemos que
. Vamos fazer essa substituição para simplificar a integral.
Passo 3
Vamos definir
. Assim, a derivada de
em relação a
é:
Também, substituindo na raiz:
Passo 4
Agora, substituímos tudo na integral original:
Simplificando a expressão:
Passo 5
Sabemos que
. Vamos substituir isso na integral:
Agora, simplificando cada parte:
E:
Passo 6
A integral de
é
. Então, temos:
Passo 7
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Lembrando que
, podemos desenhar um triângulo retângulo onde:
Substituindo de volta:
E:
Resposta
Portanto, a integral resolvida é: