Resolva as integrais indefinidas usando o método da substituição trigonométrica.
l) integral raizx^2-1x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos lidando com integrais que envolvem radicais quadráticos, e vamos usar o método da substituição trigonométrica. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre identidades trigonométricas e como elas ajudam a simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, observamos que dentro da raiz temos . Isso sugere uma substituição trigonométrica do tipo , porque sabemos que . Vamos fazer essa substituição para simplificar a integral.

Passo 3

Vamos definir dx = sectheta tantheta , dtheta . Assim, a derivada de raizx^2 - 1 = raizsec^2theta - 1 = raiztan^2theta = tantheta em relação a é:
Também, substituindo na raiz:

Passo 4

Agora, substituímos tudo na integral original:
integral raizx^2 - 1x^2 , dx = integral tanthetasec^2theta cdot sectheta tantheta , dtheta
Simplificando a expressão:
integral tanthetasec^2theta cdot sectheta tantheta , dtheta = integral tan^2thetasectheta , dtheta = integral tan^2theta costheta , dtheta

Passo 5

Sabemos que integral (sec^2theta - 1) costheta , dtheta = integral sec^2theta costheta , dtheta - integral costheta , dtheta . Vamos substituir isso na integral:
integral sec^2theta costheta , dtheta = integral sectheta , dtheta
Agora, simplificando cada parte:
integral costheta , dtheta = sintheta
E:

Passo 6

A integral de integral sec^2theta costheta , dtheta - integral costheta , dtheta = ln |sectheta + tantheta| - sintheta + C é . Então, temos:

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original sectheta = x1 Rightarrow costheta = 1x e tantheta = raizx^2 - 1 . Lembrando que ln |sectheta + tantheta| = ln |x + raizx^2 - 1| , podemos desenhar um triângulo retângulo onde:
sintheta = tanthetasectheta = raizx^2 - 1x
Substituindo de volta:
E:

Resposta

Portanto, a integral resolvida é:
integral raizx^2 - 1x^2 , dx = ln | x + raizx^2 - 1 | - raizx^2 - 1x + C

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