Calcule os limites das funções de variáveis complexas. lim z 1 z-1z^2-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de uma função de variáveis complexas: . Aqui, estamos trabalhando com limites no contexto de números complexos, mas a ideia é bem parecida com a dos números reais. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e aplicar propriedades básicas de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador da fração: a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) . Esse tipo de expressão é uma diferença de quadrados, que é uma identidade algébrica útil. A diferença de quadrados pode ser fatorada da seguinte maneira:
z^2 - 1 = (z - 1)(z + 1)
Neste caso, e . Então, podemos reescrever como:

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, nossa expressão original fica assim:
z - 1z^2 - 1 = z - 1(z - 1)(z + 1)
Perceba que temos z - 1(z - 1)(z + 1) = 1z + 1 tanto no numerador quanto no denominador. Desde que , podemos simplificar essas expressões cancelando :

Passo 4

Agora, nossa expressão simplificada para o limite é:
lim z 1 1z + 1
Calcular esse limite é mais fácil, pois substituímos por 1 diretamente na expressão, já que não há mais questões de indeterminação.

Passo 5

Substituindo 11 + 1 = 12 por 1 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados