Calcule os limites das funções de variáveis complexas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de uma função de variáveis complexas:
. Aqui, estamos trabalhando com limites no contexto de números complexos, mas a ideia é bem parecida com a dos números reais. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e aplicar propriedades básicas de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o denominador da fração:
. Esse tipo de expressão é uma diferença de quadrados, que é uma identidade algébrica útil. A diferença de quadrados pode ser fatorada da seguinte maneira:
Neste caso,
e
. Então, podemos reescrever
como:
Passo 3
Agora que fatoramos o denominador, nossa expressão original fica assim:
Perceba que temos
tanto no numerador quanto no denominador. Desde que
, podemos simplificar essas expressões cancelando
:
Passo 4
Agora, nossa expressão simplificada para o limite é:
Calcular esse limite é mais fácil, pois substituímos
por 1 diretamente na expressão, já que não há mais questões de indeterminação.
Passo 5
Substituindo
por 1 na expressão simplificada:
Resposta
O limite é
.
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Calcule os limites das funções de variáveis complexas.
Calcule os limites das funções de variáveis complexas.
é um real puro.