Calcular as integrais definidas.
h) integralpi / 4^3 pi / 4 sen x cos x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas, especificamente seno e cosseno. Para resolver isso, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que simplifica o produto de seno e cosseno, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica útil:
sin x cos x = 12 sin(2x)
Essa identidade nos ajuda a simplificar o produto de seno e cosseno em uma função que é mais fácil de integrar.

Passo 3

Substituindo a identidade na integral original, temos:
integralpi / 4^3 pi / 4 sin x cos x , dx = integralpi / 4^3 pi / 4 12 sin(2x) , dx
Podemos tirar o = 12 integralpi / 4^3 pi / 4 sin(2x) , dx da integral:

Passo 4

Agora, vamos integrar integral sin(2x) , dx = -12 cos(2x) + C . A integral de em relação a é . Aplicando isso:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Voltando à nossa integral definida:
12 [ -12 cos(2x) ]pi / 4^3 pi / 4 = -14 [ cos(2x) ]pi / 4^3 pi / 4
Vamos calcular nos limites de integração.

Passo 6

Primeiro, para cos(2 cdot 3pi4) = cos(3pi2) = 0 :
cos(2 cdot pi4) = cos(pi2) = 0
Segundo, para :

Passo 7

Substituindo esses valores na expressão:
-14 [ 0 - 0 ] = -14 cdot 0 = 0

Resposta

O valor da integral definida é .

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