Resolva as integrais indefinidas usando o método da substituição trigonométrica.
d) integral(1-4 t^2)^3 / 2 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida usando o método da substituição trigonométrica. Esse método é útil quando temos expressões envolvendo raízes quadradas de polinômios quadráticos, e vamos precisar usar identidades trigonométricas para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão 2t = sintheta Rightarrow t = 12sintheta . Observamos que se parece com a identidade trigonométrica . Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, vamos calcular dt = 12costheta , dtheta . Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Substituindo integral (1 - 4t^2)^3/2 dt = integral (1 - 4(12sintheta)^2)^3/2 cdot 12costheta , dtheta e 1 - 4(12sintheta)^2 = 1 - sin^2theta = cos^2theta na integral original:
integral (cos^2theta)^3/2 cdot 12costheta , dtheta = integral cos^3theta cdot 12costheta , dtheta = 12 integral cos^4theta , dtheta
Simplificando dentro da raiz:
Então:

Passo 5

Agora, precisamos integrar cos^4theta = (cos^2theta)^2 = (1 + cos 2theta2)^2 = 14 (1 + 2cos 2theta + cos^2 2theta) . Usamos a identidade de potência para reduzir a potência:
12 integral 14 (1 + 2cos 2theta + cos^2 2theta) dtheta = 18 integral (1 + 2cos 2theta + 1 + cos 4theta2) dtheta
Então, a integral fica:
18 integral (32 + 2cos 2theta + cos 4theta2) dtheta = 316 theta + 18 sin 2theta + 164 sin 4theta + C
Simplificando:

Passo 6

Agora, voltamos para a variável original sin 2theta = 2sinthetacostheta = 2(2t)raiz1 - 4t^2 = 4traiz1 - 4t^2 . Lembrando que sin 4theta = 2sin 2theta cos 2theta = 2(4traiz1 - 4t^2)(1 - 2sin^2theta) = 2(4traiz1 - 4t^2)(1 - 8t^2) , então . Além disso, usamos as identidades trigonométricas para expressar e em termos de :

Passo 7

Substituindo tudo de volta, temos:
316 arcsin(2t) + 18 cdot 4traiz1 - 4t^2 + 164 cdot 2(4traiz1 - 4t^2)(1 - 8t^2) + C
Simplificando:
316 arcsin(2t) + 12traiz1 - 4t^2 + 116traiz1 - 4t^2(1 - 8t^2) + C

Resposta

A integral 316 arcsin(2t) + 12 t raiz1 - 4 t^2 - 116 t (1 - 8 t^2) raiz1 - 4 t^2 + C é igual a:

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