Resolva as integrais indefinidas usando o método da substituição trigonométrica.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral indefinida
usando o método da substituição trigonométrica. Esse método é útil quando temos expressões envolvendo raízes quadradas de polinômios quadráticos, e vamos precisar usar identidades trigonométricas para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão
. Observamos que
se parece com a identidade trigonométrica
. Então, vamos definir:
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original:
Simplificando dentro da raiz:
Então:
Passo 5
Agora, precisamos integrar
. Usamos a identidade de potência para reduzir a potência:
Então, a integral fica:
Simplificando:
Passo 6
Agora, voltamos para a variável original
. Lembrando que
, então
. Além disso, usamos as identidades trigonométricas para expressar
e
em termos de
:
Passo 7
Substituindo tudo de volta, temos:
Simplificando:
Resposta
A integral
é igual a: