Resolva as integrais indefinidas usando o método da substituição trigonométrica.
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral indefinida
usando o método da substituição trigonométrica. Esse método é útil quando temos expressões envolvendo raízes quadradas de polinômios quadráticos, e vamos precisar usar identidades trigonométricas para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão
. Observamos que
se parece com a identidade trigonométrica
. Então, vamos definir:
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original:
Simplificando dentro da raiz:
Então:
Passo 5
Agora, precisamos integrar
. Usamos a identidade de potência para reduzir a potência:
Então, a integral fica:
Simplificando:
Passo 6
Agora, voltamos para a variável original
. Lembrando que
, então
. Além disso, usamos as identidades trigonométricas para expressar
e
em termos de
:
Passo 7
Substituindo tudo de volta, temos:
Simplificando:
Resposta
A integral
é igual a:
Exercícios relacionados
Calcular as integrais seguintes utilizando o método da substituição.
c)
c)
Nos itens a seguir expresse a área das regiões limitadas pelas curvas dadas. Faça isso de duas maneiras, com integrações na variável
e com integrações na variável
. Escolha uma das maneiras e calcule a área.
(b) e
.
(b)
Calcular as integrais definidas.
h)
h)
Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.
a) e
a)