Resolva as integrais indefinidas usando o método da substituição trigonométrica.
d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida usando o método da substituição trigonométrica. Esse método é útil quando temos expressões envolvendo raízes quadradas de polinômios quadráticos, e vamos precisar usar identidades trigonométricas para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão . Observamos que se parece com a identidade trigonométrica . Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, vamos calcular . Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Substituindo e na integral original:
Simplificando dentro da raiz:
Então:

Passo 5

Agora, precisamos integrar . Usamos a identidade de potência para reduzir a potência:
Então, a integral fica:
Simplificando:

Passo 6

Agora, voltamos para a variável original . Lembrando que , então . Além disso, usamos as identidades trigonométricas para expressar e em termos de :

Passo 7

Substituindo tudo de volta, temos:
Simplificando:

Resposta

A integral é igual a:

Exercícios relacionados

Calcular as integrais seguintes utilizando o método da substituição.
c)
Nos itens a seguir expresse a área das regiões limitadas pelas curvas dadas. Faça isso de duas maneiras, com integrações na variável e com integrações na variável . Escolha uma das maneiras e calcule a área.
(b) e .
Calcular as integrais definidas.
h)
Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.
a) e