Calcular as integrais seguintes utilizando o método da substituição.
c) integral xraiz[5]x^2-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral . Isso faz parte do conteúdo de integração por substituição, um método que ajuda a simplificar integrais complicadas. Para resolver isso, vamos precisar identificar uma parte da expressão que podemos substituir para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão dentro da raiz: u = x^2 - 1 . Isso parece uma boa candidata para a substituição. Vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos derivar dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx em relação a para encontrar :
Isso significa que .

Passo 4

Vamos substituir integral xraiz[5]x^2-1 , dx = integral xu^1/5 , dx = integral 1u^1/5 cdot x , dx = integral 1u^1/5 cdot du2 e 12 integral u^-1/5 , du na integral original:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u^n , du = u^n+1n+1 + C (onde (n neq -1)) em relação a integral u^-1/5 , du = u^4/54/5 + C = 54 u^4/5 + C . Lembrando que:
Aqui, , então:

Passo 6

Voltando à nossa integral:
12 cdot 54 u^4/5 + C = 58 u^4/5 + C
Agora, substituímos u = x^2 - 1 Rightarrow u^4/5 = (x^2 - 1)^4/5 de volta para :

Resposta

Portanto, a integral é:
integral xraiz[5]x^2-1 , dx = 58 (x^2 - 1)^4/5 + C

Exercícios relacionados