Calcular as integrais seguintes utilizando o método da substituição.
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral
. Isso faz parte do conteúdo de integração por substituição, um método que ajuda a simplificar integrais complicadas. Para resolver isso, vamos precisar identificar uma parte da expressão que podemos substituir para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a expressão dentro da raiz:
. Isso parece uma boa candidata para a substituição. Vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Isso significa que
.
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos integrar
em relação a
. Lembrando que:
Aqui,
, então:
Passo 6
Voltando à nossa integral:
Agora, substituímos
de volta para
:
Resposta
Portanto, a integral é:
Exercícios relacionados
Nos itens a seguir expresse a área das regiões limitadas pelas curvas dadas. Faça isso de duas maneiras, com integrações na variável
e com integrações na variável
. Escolha uma das maneiras e calcule a área.
(b) e
.
(b)
Determine a área da região
do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
® e
.
®
Resolva as integrais indefinidas usando o método da substituição trigonométrica.
d)
d)
Calcular as integrais definidas.
h)
h)