Calcular as integrais definidas.
i)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida juntos! A questão pede para calcularmos:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando uma função que envolve seno e cosseno. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição inteligente para simplificar a integral. Olha só, no numerador temos e no denominador . Isso sugere que podemos deixar .
Então, definimos:
Agora, precisamos encontrar , que é a derivada de em relação a :
Perceba que está justamente no numerador da nossa integral original. Isso vai facilitar bastante a substituição.

Passo 3

Com essa substituição, nossa integral fica mais simples. Vamos substituir tudo na integral original:
Agora, a integral virou:

Passo 4

Vamos resolver a integral de . A regra básica para integrar é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente:
Onde é a constante de integração, mas como estamos fazendo uma integral definida, podemos ignorar no próximo passo.

Passo 5

Agora, vamos voltar para a variável original . Lembrando que , substituímos de volta:
Agora, aplicamos os limites de integração de a :

Passo 6

Vamos calcular isso para cada limite:
  1. Para :
    Então:
  2. Para :
    Então:

Passo 7

Agora, subtraímos os valores encontrados:

Resposta

A integral definida é igual a .

Exercícios relacionados

Use o Teorema do Confronto para mostrar que:
Calcule o limite, se existir.
Calcular as integrais definidas.
l)
Calcular as integrais seguintes utilizando o método da substituição.
d)