Calcular as integrais definidas.
i)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral definida juntos! A questão pede para calcularmos:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando uma função que envolve seno e cosseno. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição inteligente para simplificar a integral. Olha só, no numerador temos
e no denominador
. Isso sugere que podemos deixar
.
Então, definimos:
Agora, precisamos encontrar
, que é a derivada de
em relação a
:
Perceba que
está justamente no numerador da nossa integral original. Isso vai facilitar bastante a substituição.
Passo 3
Com essa substituição, nossa integral fica mais simples. Vamos substituir tudo na integral original:
Agora, a integral virou:
Passo 4
Vamos resolver a integral de
. A regra básica para integrar
é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente:
Onde
é a constante de integração, mas como estamos fazendo uma integral definida, podemos ignorar
no próximo passo.
Passo 5
Agora, vamos voltar para a variável original
. Lembrando que
, substituímos de volta:
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Passo 6
Vamos calcular isso para cada limite:
-
Para
: Então: -
Para
: Então:
Passo 7
Agora, subtraímos os valores encontrados:
Resposta
A integral definida é igual a
.
Exercícios relacionados
Use o Teorema do Confronto para mostrar que:
Calcule o limite, se existir.
Calcular as integrais definidas.
l)
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Calcular as integrais seguintes utilizando o método da substituição.
d)
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