Calcular as integrais definidas.
i) integral0^pi / 2 cos x(1+sen x)^5 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida juntos! A questão pede para calcularmos:
integral0^pi / 2 cos x(1+sin x)^5 , dx
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando uma função que envolve seno e cosseno. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição inteligente para simplificar a integral. Olha só, no numerador temos u = 1 + sin x e no denominador du = cos x , dx . Isso sugere que podemos deixar .
Então, definimos:
Agora, precisamos encontrar , que é a derivada de em relação a :
Perceba que está justamente no numerador da nossa integral original. Isso vai facilitar bastante a substituição.

Passo 3

Com essa substituição, nossa integral fica mais simples. Vamos substituir tudo na integral original:
integral0^pi / 2 cos x(1+sin x)^5 , dx = integral duu^5
Agora, a integral virou:
integral u^-5 , du

Passo 4

Vamos resolver a integral de integral u^-5 , du = u^-4-4 + C = -14u^4 + C . A regra básica para integrar é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente:
Onde é a constante de integração, mas como estamos fazendo uma integral definida, podemos ignorar no próximo passo.

Passo 5

Agora, vamos voltar para a variável original -14u^4 = -14(1 + sin x)^4 . Lembrando que [ -14(1 + sin x)^4 ]0^pi / 2 , substituímos de volta:
Agora, aplicamos os limites de integração de a :

Passo 6

Vamos calcular isso para cada limite:
  1. Para sin(pi2) = 1 Rightarrow 1 + sin(pi2) = 2 :
    -14(2)^4 = -14 times 16 = -164
    Então:
    sin(0) = 0 Rightarrow 1 + sin(0) = 1
  2. Para -14(1)^4 = -14 :
    Então:

Passo 7

Agora, subtraímos os valores encontrados:
-164 - (-14) = -164 + 14 = -1 + 1664 = 1564

Resposta

A integral definida é igual a .

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