Calcular as integrais seguintes utilizando o método da substituição.
d)

Passo 1

Vamos calcular a integral . Aqui, vamos usar o método da substituição, que é uma técnica útil quando a integral envolve uma função composta. Para isso, precisamos identificar uma parte da função que podemos substituir por uma variável mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que pode ser substituída. Vamos chamar de o que está dentro do parênteses elevado à potência de :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , que é . Isso nos ajudará a substituir o diferencial na integral:
Então,

Passo 4

Vamos agora substituir e na integral original. Substituindo e , temos:

Passo 5

Agora, a integral ficou mais simples:
Vamos integrar em relação a usando a regra da integral de potências, que diz que , onde é a constante de integração.

Passo 6

Aplicando a regra da integral de potências:

Passo 7

Finalmente, vamos substituir de volta em termos de :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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