Calcular as integrais seguintes utilizando o método da substituição.
d) integral(e^2 t+2)^13 e^2 t d x

Passo 1

Vamos calcular a integral integral(e^2 t+2)^13 e^2 t dt. Aqui, vamos usar o método da substituição, que é uma técnica útil quando a integral envolve uma função composta. Para isso, precisamos identificar uma parte da função que podemos substituir por uma variável mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que pode ser substituída. Vamos chamar de u o que está dentro do parênteses elevado à potência de 13:
u = e^2 t + 2

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a t, que é du/dt. Isso nos ajudará a substituir o diferencial dt na integral:
dudt = ddt(e^2 t + 2) = 2 e^2 t
Então,
du = 2 e^2 t dt Rightarrow dt = du2 e^2 t

Passo 4

Vamos agora substituir u e dt na integral original. Substituindo u = e^2 t + 2 e dt = du2 e^2 t, temos:
integral(e^2 t+2)^13 e^2 t dt = integral u^13 e^2 t cdot du2 e^2 t = 12 integral u^13 du

Passo 5

Agora, a integral ficou mais simples:
12 integral u^13 du
Vamos integrar u^13 em relação a u usando a regra da integral de potências, que diz que integral u^n du = u^n+1n+1 + C, onde C é a constante de integração.

Passo 6

Aplicando a regra da integral de potências:
12 cdot u^13 + 113 + 1 + C = 12 cdot u^4343 + C = 38 u^43 + C

Passo 7

Finalmente, vamos substituir u de volta em termos de t:
38 (e^2 t + 2)^43 + C

Resposta

A integral é igual a 38 (e^2 t + 2)^43 + C, onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados