Calcule o limite, se existir.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando
se aproxima de 9 da expressão
. Aqui, vamos usar conceitos de limites e algumas técnicas de álgebra para simplificar a expressão e encontrar o resultado.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador
. Perceba que isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada. A diferença de quadrados segue a fórmula:
Aplicando isso ao nosso caso:
Passo 3
Agora, substituímos essa fatoração na expressão original:
Percebemos que, quando
se aproxima de 9, tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero, resultando numa forma indeterminada
. Para resolver isso, precisamos simplificar a expressão.
Passo 4
Vamos simplificar dividindo o numerador e o denominador por
. Mas para isso, precisamos manipular o denominador. Observamos que
pode ser racionalizado multiplicando o numerador e o denominador por
, que é o conjugado do denominador.
Passo 5
Simplificando o denominador:
Portanto, a expressão fica:
Agora, podemos cancelar
no numerador e denominador:
Passo 6
Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo
por 9:
Resposta
O limite é igual a 108.
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