Calcule o limite, se existir. lim x 9 x^2-81raizx-3

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando se aproxima de 9 da expressão . Aqui, vamos usar conceitos de limites e algumas técnicas de álgebra para simplificar a expressão e encontrar o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) . Perceba que isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada. A diferença de quadrados segue a fórmula:
x^2 - 81 = (x - 9)(x + 9)
Aplicando isso ao nosso caso:

Passo 3

Agora, substituímos essa fatoração na expressão original:
x^2 - 81raizx - 3 = (x - 9)(x + 9)raizx - 3
Percebemos que, quando se aproxima de 9, tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero, resultando numa forma indeterminada . Para resolver isso, precisamos simplificar a expressão.

Passo 4

Vamos simplificar dividindo o numerador e o denominador por (x - 9)(x + 9)raizx - 3 times raizx + 3raizx + 3 = (x - 9)(x + 9)(raizx + 3)(raizx)^2 - 3^2 . Mas para isso, precisamos manipular o denominador. Observamos que pode ser racionalizado multiplicando o numerador e o denominador por , que é o conjugado do denominador.

Passo 5

Simplificando o denominador:
(raizx)^2 - 3^2 = x - 9
Portanto, a expressão fica:
(x - 9)(x + 9)(raizx + 3)x - 9
Agora, podemos cancelar (x + 9)(raizx + 3) no numerador e denominador:

Passo 6

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo (9 + 9)(raiz9 + 3) = 18 times (3 + 3) = 18 times 6 = 108 por 9:

Resposta

O limite é igual a 108.

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