Calcule o limite, se existir.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando se aproxima de 9 da expressão . Aqui, vamos usar conceitos de limites e algumas técnicas de álgebra para simplificar a expressão e encontrar o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador . Perceba que isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada. A diferença de quadrados segue a fórmula:
Aplicando isso ao nosso caso:

Passo 3

Agora, substituímos essa fatoração na expressão original:
Percebemos que, quando se aproxima de 9, tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero, resultando numa forma indeterminada . Para resolver isso, precisamos simplificar a expressão.

Passo 4

Vamos simplificar dividindo o numerador e o denominador por . Mas para isso, precisamos manipular o denominador. Observamos que pode ser racionalizado multiplicando o numerador e o denominador por , que é o conjugado do denominador.

Passo 5

Simplificando o denominador:
Portanto, a expressão fica:
Agora, podemos cancelar no numerador e denominador:

Passo 6

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo por 9:

Resposta

O limite é igual a 108.

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