Calcular as integrais definidas.
l) integral0^pi / 3 4 sec u tg u d u

Passo 1

Vamos calcular a integral definida . Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integração de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar conhecer as integrais básicas de funções trigonométricas e saber como aplicar a regra da substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a função que estamos integrando: 4 integral0^pi / 3 sec u tan u , du . Podemos tirar o 4 da integral para simplificar:

Passo 3

Agora, precisamos lembrar qual é a integral de ddu (sec u) = sec u tan u . Sabemos que:
Isso significa que a integral de é simplesmente .

Passo 4

Aplicando essa informação na nossa integral:
4 integral sec u tan u , du = 4 sec u + C
Como estamos lidando com uma integral definida, vamos calcular os limites de integração:
4 [ sec u ]0^pi / 3 = 4 (sec (pi / 3) - sec (0))

Passo 5

Agora, vamos calcular sec u = 1cos u e sec ( pi3 ) = 1cos ( pi3 ) = 112 = 2 .
Sabemos que:
sec (0) = 1cos 0 = 11 = 1
Então,
E,

Passo 6

Substituindo esses valores na expressão:
4 (2 - 1) = 4 times 1 = 4

Resposta

O valor da integral definida é 4.

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