Calcular as integrais definidas.
j)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: . Aqui estamos lidando com integrais definidas e integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a fórmula da integração por partes, que é super útil quando temos o produto de duas funções, como é o caso aqui com e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Essa fórmula ajuda a transformar uma integral complicada em outra mais simples. Precisamos escolher qual parte da nossa integral será e qual será . Geralmente, escolhemos como a função que fica mais simples ao derivar.

Passo 3

No nosso caso, vamos escolher:
Agora, vamos derivar e integrar :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo , , :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos integrar :
Substituindo de volta:

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 2:
Calculando para :
Calculando para :
Subtraindo:

Resposta

A integral definida é igual a .

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