Calcular as integrais definidas.
j) integral1^2 x ln x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: . Aqui estamos lidando com integrais definidas e integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a fórmula da integração por partes, que é super útil quando temos o produto de duas funções, como é o caso aqui com e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Essa fórmula ajuda a transformar uma integral complicada em outra mais simples. Precisamos escolher qual parte da nossa integral será e qual será . Geralmente, escolhemos como a função que fica mais simples ao derivar.

Passo 3

No nosso caso, vamos escolher:
u = ln x e dv = x , dx
Agora, vamos derivar du = 1x , dx e v = x^22 e integrar :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x ln x , dx = uv - integral v , du
Substituindo integral x ln x , dx = ln x cdot x^22 - integral x^22 cdot 1x , dx , = x^22 ln x - 12 integral x , dx , :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos integrar integral x , dx = x^22 + C :
x^22 ln x - 12 cdot x^22 = x^22 ln x - x^24
Substituindo de volta:

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 2:
[ x^22 ln x - x^24 ]1^2
Calculando para 2^22 ln 2 - 2^24 = 2 ln 2 - 1 :
1^22 ln 1 - 1^24 = 0 - 14 = -14
Calculando para (2 ln 2 - 1) - (-14) = 2 ln 2 - 34 :
Subtraindo:

Resposta

A integral definida é igual a .

Exercícios relacionados