Resolva as integrais indefinidas usando o método das frações parciais.
c)

Passo 1

Ok, vamos resolver a integral indefinida usando o método das frações parciais. Isso envolve álgebra de frações racionais, onde precisamos simplificar a expressão para facilitar a integração. Para isso, vamos precisar realizar a divisão polinomial e, depois, decompor a fração resultante em termos mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar os polinômios no numerador e no denominador. Ambos são de grau 2, então precisamos fazer a divisão polinomial para simplificar a fração antes de aplicar as frações parciais.

Passo 3

Vamos dividir por . Como os graus são iguais, a divisão será:
Simplificando o numerador:
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos focar na fração . Precisamos de decompor essa fração em termos mais simples usando frações parciais. Como o denominador é , a forma da decomposição será:

Passo 5

Vamos encontrar os valores de e . Multiplicando ambos os lados por , obtemos:
Expandindo:
Comparando os coeficientes:
Para :
Para os termos constantes:

Passo 6

Substituindo os valores de e na decomposição original:
Portanto, a integral original fica:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:

Resposta

Juntando tudo, a solução da integral é:
Onde é a constante de integração.

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n)
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h)
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j)