Resolva as integrais indefinidas usando o método das frações parciais.
c) integral x^2+5 x+4x^2-2 x+1 d x

Passo 1

Ok, vamos resolver a integral indefinida usando o método das frações parciais. Isso envolve álgebra de frações racionais, onde precisamos simplificar a expressão para facilitar a integração. Para isso, vamos precisar realizar a divisão polinomial e, depois, decompor a fração resultante em termos mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar os polinômios no numerador e no denominador. Ambos são de grau 2, então precisamos fazer a divisão polinomial para simplificar a fração antes de aplicar as frações parciais.

Passo 3

Vamos dividir x^2 + 5x + 4x^2 - 2x + 1 = 1 + (x^2 + 5x + 4) - (x^2 - 2x + 1)x^2 - 2x + 1 por (x^2 + 5x + 4) - (x^2 - 2x + 1) = 7x + 3 . Como os graus são iguais, a divisão será:
x^2 + 5x + 4x^2 - 2x + 1 = 1 + 7x + 3(x - 1)^2
Simplificando o numerador:
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos focar na fração 7x + 3(x - 1)^2 = Ax - 1 + B(x - 1)^2 . Precisamos de decompor essa fração em termos mais simples usando frações parciais. Como o denominador é , a forma da decomposição será:

Passo 5

Vamos encontrar os valores de 7x + 3 = A(x - 1) + B e 7x + 3 = A x - A + B . Multiplicando ambos os lados por 7 = A , obtemos:
3 = -A + B Rightarrow 3 = -7 + B Rightarrow B = 10
Expandindo:
Comparando os coeficientes:
Para :
Para os termos constantes:

Passo 6

Substituindo os valores de 7x + 3(x - 1)^2 = 7x - 1 + 10(x - 1)^2 e integral x^2 + 5x + 4x^2 - 2x + 1 , dx = integral (1 + 7x - 1 + 10(x - 1)^2) , dx na decomposição original:
Portanto, a integral original fica:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1 , dx = x
integral 7x - 1 , dx = 7 ln|x - 1|
integral 10(x - 1)^2 , dx = 10 cdot (-1x - 1) = -10x - 1

Resposta

Juntando tudo, a solução da integral é:
x + 7 ln|x - 1| - 10x - 1 + C
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados