Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.
f)
e
f)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a área da região limitada pelas curvas
,
,
e
. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração para calcular áreas entre curvas. Precisaremos identificar os pontos de interseção dessas curvas e determinar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas para entender melhor a região que vamos calcular. Vamos resolver onde as curvas se cruzam:
-
Interseção de
e : Resolvendo a equação quadrática, percebemos que não há soluções reais, ou seja, essas duas curvas não se cruzam. -
Interseção de
e : Então, o ponto é. -
Interseção de
e : Então, o ponto é. -
Interseção de
e : Então, o ponto é. -
Interseção de
e : Então, o ponto é.
Passo 3
Agora que temos os pontos de interseção, vamos visualizar a região:
- A parábola
está aberta para a direita. - A reta
pode ser escrita como , uma reta com inclinação 1. - As linhas horizontais
e delimitam a região verticalmente.
Observando os pontos, percebemos que a região limitada está entre
e
. Para cada valor de
nesse intervalo, a curva
está à direita da reta
.
Passo 4
Para calcular a área, vamos integrar a diferença entre as funções que delimitam a região no intervalo de
a
. A fórmula geral para a área entre duas curvas
e
entre
e
é:
No nosso caso:
Passo 5
Substituindo na fórmula, temos:
Passo 6
Agora, vamos calcular essa integral passo a passo.
Primeiro, integramos cada termo separadamente:
Passo 7
Agora, avaliamos a antiderivada nos limites de
e
:
Calculando cada parte:
Para
:
Para
:
Passo 8
Subtraindo as duas avaliações:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é aproximadamente
unidades quadradas.
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