Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.
f) e

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a área da região limitada pelas curvas , , e . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração para calcular áreas entre curvas. Precisaremos identificar os pontos de interseção dessas curvas e determinar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas para entender melhor a região que vamos calcular. Vamos resolver onde as curvas se cruzam:
  1. Interseção de e :
    Resolvendo a equação quadrática, percebemos que não há soluções reais, ou seja, essas duas curvas não se cruzam.
  2. Interseção de e :
    Então, o ponto é .
  3. Interseção de e :
    Então, o ponto é .
  4. Interseção de e :
    Então, o ponto é .
  5. Interseção de e :
    Então, o ponto é .

Passo 3

Agora que temos os pontos de interseção, vamos visualizar a região:
  • A parábola está aberta para a direita.
  • A reta pode ser escrita como , uma reta com inclinação 1.
  • As linhas horizontais e delimitam a região verticalmente.
Observando os pontos, percebemos que a região limitada está entre e . Para cada valor de nesse intervalo, a curva está à direita da reta .

Passo 4

Para calcular a área, vamos integrar a diferença entre as funções que delimitam a região no intervalo de a . A fórmula geral para a área entre duas curvas e entre e é:
Á
No nosso caso:

Passo 5

Substituindo na fórmula, temos:
Á

Passo 6

Agora, vamos calcular essa integral passo a passo.
Primeiro, integramos cada termo separadamente:

Passo 7

Agora, avaliamos a antiderivada nos limites de e :
Calculando cada parte:
Para :
Para :

Passo 8

Subtraindo as duas avaliações:

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é aproximadamente unidades quadradas.

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