Resolva as integrais indefinidas usando o método das frações parciais.
h) integral x^2+2 x-1(x-1)^2(x^2+1) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método das frações parciais. Esse método é útil quando temos uma fração racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Vamos decompor essa fração em partes mais simples para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, identificamos o denominador x^2+2 x-1(x-1)^2(x^2+1) = Ax-1 + B(x-1)^2 + Cx + Dx^2+1 e notamos os fatores distintos. Nosso objetivo é expressar a fração original como uma soma de frações mais simples. A forma geral para a decomposição será:
Aqui, , , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum x^2+2 x-1 = A(x-1)(x^2+1) + B(x^2+1) + (Cx + D)(x-1)^2 para eliminar as frações:
Agora, expandimos e simplificamos os termos à direita.

Passo 4

Expansão dos termos:
  1. A x^3 + A x - A x^2 - A + B x^2 + B + C x^3 - 2C x^2 + C x + D x^2 - 2D x + D
  2. (A + C) x^3 + (-A + B - 2C + D) x^2 + (A + C - 2D) x + (-A + B + D)
  3. A + C = 0 - A + B - 2C + D = 1 A + C - 2D = 2 - A + B + D = -1
Somando todos os termos:
Agrupamos os termos semelhantes:
Igualamos isso ao lado esquerdo da equação , o que nos dá o sistema de equações:

Passo 5

Resolvendo o sistema:
  1. Da primeira equação: A - A - 2D = 2 Rightarrow -2D = 2 Rightarrow D = -1
  2. Substitute -A + B -1 = -1 Rightarrow -A + B = 0 Rightarrow B = A na terceira equação: -A + A - 2(-A) -1 = 1 Rightarrow 2A -1 = 1 Rightarrow 2A = 2 Rightarrow A = 1
  3. Substitute e na quarta equação:
  4. Substitute e na segunda equação:
  5. Portanto, , , , .

Passo 6

Agora, substituímos os valores encontrados na decomposição inicial:
x^2+2 x-1(x-1)^2(x^2+1) = 1x-1 + 1(x-1)^2 + -x -1x^2+1

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1x-1 , dx = ln|x-1| + C
integral 1(x-1)^2 , dx = 1-(x-1) + C = -1x-1 + C
integral -x -1x^2+1 , dx = -12 ln|x^2+1| - arctan(x) + C

Resposta

Somando todas as integrais, a solução da integral é:
ln|x-1| - 1x-1 - 12 ln(x^2+1) - arctan(x) + C

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