Resolva as integrais indefinidas usando o método das frações parciais.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral usando o método das frações parciais. Esse método é útil quando temos uma fração racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Vamos decompor essa fração em partes mais simples para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, identificamos o denominador e notamos os fatores distintos. Nosso objetivo é expressar a fração original como uma soma de frações mais simples. A forma geral para a decomposição será:
Aqui, , , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:
Agora, expandimos e simplificamos os termos à direita.
Passo 4
Expansão dos termos:
Somando todos os termos:
Agrupamos os termos semelhantes:
Igualamos isso ao lado esquerdo da equação , o que nos dá o sistema de equações:
Passo 5
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substitute na terceira equação:
Substitute e na quarta equação:
Substitute e na segunda equação:
Portanto, , , , .
Passo 6
Agora, substituímos os valores encontrados na decomposição inicial:
Passo 7
Vamos integrar cada termo separadamente:
Resposta
Somando todas as integrais, a solução da integral é: