Resolva as integrais indefinidas usando o método das frações parciais.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando o método das frações parciais. Esse método é útil quando temos uma fração racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Vamos decompor essa fração em partes mais simples para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, identificamos o denominador
e notamos os fatores distintos. Nosso objetivo é expressar a fração original como uma soma de frações mais simples. A forma geral para a decomposição será:
Aqui,
,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Agora, expandimos e simplificamos os termos à direita.
Passo 4
Expansão dos termos:
Somando todos os termos:
Agrupamos os termos semelhantes:
Igualamos isso ao lado esquerdo da equação
, o que nos dá o sistema de equações:
Passo 5
Resolvendo o sistema:
- Da primeira equação:
A - A - 2D = 2 Rightarrow -2D = 2 Rightarrow D = -1 - Substitute
na terceira equação:-A + B -1 = -1 Rightarrow -A + B = 0 Rightarrow B = A -A + A - 2(-A) -1 = 1 Rightarrow 2A -1 = 1 Rightarrow 2A = 2 Rightarrow A = 1 - Substitute
e na quarta equação: - Substitute
e na segunda equação: - Portanto,
, , , .
Passo 6
Agora, substituímos os valores encontrados na decomposição inicial:
Passo 7
Vamos integrar cada termo separadamente:
Resposta
Somando todas as integrais, a solução da integral é: