Calcular as integrais seguintes utilizando o método da substituição.
j) integral 2^x^2+1 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método da substituição. Esse método é muito útil quando a integral tem uma composição de funções que facilita a substituição de uma parte por uma nova variável. Para isso, vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que o expoente de 2 é u = x^2 + 1 . Vamos chamar esse expoente de dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx . Então, fazemos:
Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :
Ou seja, . Isso é ótimo porque na nossa integral original temos , que é metade de .

Passo 3

Vamos reescrever a integral em termos de integral 2^x^2+1 x , dx = integral 2^u cdot du2 = 12 integral 2^u , du . Substituindo e , temos:
Agora, a integral ficou mais simples, envolvendo apenas .

Passo 4

Sabemos que a integral de 12 integral 2^u , du = 12 cdot 2^uln 2 + C = 2^u2 ln 2 + C é . Aplicando isso na nossa integral:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos voltar à variável original 2^u2 ln 2 + C = 2^x^2+12 ln 2 + C . Lembrando que 2 cdot 2^x^22 ln 2 + C = 2^x^2ln 2 + C , substituímos de volta:
Podemos simplificar como :

Resposta

A integral integral 2^x^2+1 x , dx = 2^x^2ln 2 + C é igual a , onde é a constante de integração.

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