Calcular as integrais seguintes utilizando o método da substituição.
j)
j)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando o método da substituição. Esse método é muito útil quando a integral tem uma composição de funções que facilita a substituição de uma parte por uma nova variável. Para isso, vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que o expoente de 2 é
. Vamos chamar esse expoente de
. Então, fazemos:
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Ou seja,
. Isso é ótimo porque na nossa integral original temos
, que é metade de
.
Passo 3
Vamos reescrever a integral em termos de
. Substituindo
e
, temos:
Agora, a integral ficou mais simples, envolvendo apenas
.
Passo 4
Sabemos que a integral de
é
. Aplicando isso na nossa integral:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, vamos voltar à variável original
. Lembrando que
, substituímos de volta:
Podemos simplificar
como
:
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.