Calcular as integrais definidas.
l) integral0^pi / 3 4 sec u tg u d u

Passo 1

Beleza! A gente vai calcular a integral definida . Esse exercício está na área de Cálculo Integral, especificamente lidando com integrais de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções que envolvem o secante ( ) e a tangente ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma regra básica de integração. Sabemos que a derivada de é . Isso significa que se temos na nossa integral, sua antiderivada (ou primitiva) é .
Então, a integral pode ser simplificada usando essa propriedade.

Passo 3

Vamos aplicar essa regra na nossa integral:
integral 4 sec u tan u , du = 4 integral sec u tan u , du
Como sabemos que 4 integral sec u tan u , du = 4 sec u + C (onde é a constante de integração), então temos:

Passo 4

Agora que encontramos a antiderivada, precisamos calcular o valor da integral definida, que vai de 4 sec u |0^pi/3 = 4 sec (pi3) - 4 sec (0) até . Isso significa que vamos substituir esses valores na antiderivada e calcular a diferença.

Passo 5

Vamos calcular cada termo separadamente:
  1. 4 sec (pi3) - 4 sec (0) = 4 times 2 - 4 times 1 = 8 - 4 = 4 : Sabemos que , então .
  2. : Como , então .
Substituindo esses valores:

Resposta

A integral definida é igual a .

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