Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a integral . O assunto que vamos usar para resolver isso é a técnica de integração por partes. Para isso, vamos precisar identificar duas partes na nossa integral: uma que a gente vai derivar e outra que a gente vai integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher u e dv. Uma boa estratégia é deixar , porque a derivada de é simples, e .

Passo 3

Agora, vamos calcular e :
  • Derivando :
  • Integrando para encontrar : Essa integral parece complicada, mas vamos tratar de resolver isso.

Passo 4

Para resolver , precisamos de uma substituição inteligente. Vamos tentar uma substituição onde . Então, a derivada de em relação a é:
Contudo, isso não simplifica diretamente a nossa integral. Nesse caso, percebemos que a integral de não tem uma forma elementar conhecida. Portanto, fica complicado seguir com a integração por partes nesse formato.

Passo 5

Diante disso, podemos reconsiderar nossa escolha inicial de e . Talvez escolher e possa ajudar. Porém, ao derivar , a complicação persiste devido à presença de .

Passo 6

Como a integração direta por partes está complicando, podemos concluir que a integral não possui uma solução em termos de funções elementares conhecidas. Ou seja, não conseguimos expressar essa integral usando as funções básicas que conhecemos.

Resposta

A integral não pode ser expressa em termos de funções elementares conhecidas usando a técnica de integração por partes.

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