Calcular as integrais impróprias, caso sejam convergentes.
c) integral-infty^+infty e^-x d x

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral imprópria . Estamos lidando com Cálculo, mais especificamente com integrais impróprias. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais em intervalos infinitos e como verificar se elas convergem para um valor finito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma integral imprópria. Quando temos uma integral que vai de integral-infty^+infty e^-x , dx = integral-infty^0 e^-x , dx + integral0^+infty e^-x , dx a , estamos somando áreas infinitas ao longo do eixo . Para calcular isso, dividimos a integral em duas partes:

Passo 3

Vamos resolver cada parte separadamente. Começando pela primeira integral:
integral-infty^0 e^-x , dx
Aqui, substituímos integral-infty^0 e^x , dx por uma nova variável para facilitar. Sabemos que quando é negativo. Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, calculamos essa integral. A antiderivada de integral-infty^0 e^x , dx = [ e^x ]-infty^0 = e^0 - lima to -infty e^a é 1 - 0 = 1 , então:
Sabemos que e que . Portanto:

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda parte da integral:
integral0^+infty e^-x , dx
A antiderivada de integral0^+infty e^-x , dx = [ -e^-x ]0^+infty = -limb to +infty e^-b - (-e^0) é 0 - (-1) = 1 , então:
Sabemos que e . Portanto:

Resposta

Somando as duas partes, temos:
integral-infty^+infty e^-x , dx = 1 + 1 = 2
Então, a integral imprópria converge e o valor final é 2.

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