Calcular as integrais impróprias, caso sejam convergentes.
c)
c)
Passo 1
Ok, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral imprópria
. Estamos lidando com Cálculo, mais especificamente com integrais impróprias. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais em intervalos infinitos e como verificar se elas convergem para um valor finito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma integral imprópria. Quando temos uma integral que vai de
a
, estamos somando áreas infinitas ao longo do eixo
. Para calcular isso, dividimos a integral em duas partes:
Passo 3
Vamos resolver cada parte separadamente. Começando pela primeira integral:
Aqui, substituímos
por uma nova variável para facilitar. Sabemos que
quando
é negativo. Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, calculamos essa integral. A antiderivada de
é
, então:
Sabemos que
e que
. Portanto:
Passo 5
Agora, vamos resolver a segunda parte da integral:
A antiderivada de
é
, então:
Sabemos que
e
. Portanto:
Resposta
Somando as duas partes, temos:
Então, a integral imprópria converge e o valor final é 2.
Exercícios relacionados
Calcular as integrais definidas.
l)
l)
Diga se cada equação é verdadeira ou falsa
Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
n)
n)
Resolva as integrais indefinidas usando o método das frações parciais.
b)
b)