Calcular as integrais: f)
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral
. Aqui, estamos lidando com a função delta de Dirac e suas derivadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função delta e suas derivadas interagem com polinômios como
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a função delta de Dirac,
. Ela não é uma função no sentido tradicional, mas sim uma “função” que é zero em todos os lugares, exceto em
, onde ela é infinita de forma que sua integral é 1:
Essa função é muito útil para “pegar” o valor de outra função em um ponto específico.
Passo 3
Agora, quando falamos da derivada da função delta,
, estamos falando da n-ésima derivada dessa função. A propriedade importante aqui é:
Isso significa que, ao integrar uma função
multiplicada pela n-ésima derivada da delta, obtemos
vezes a n-ésima derivada de
avaliada em zero.
Passo 4
No nosso caso, a função
é
. Precisamos calcular a n-ésima derivada de
:
Isso porque, ao derivar
n vezes, acabamos com
(fatorial de n) e não há mais termos de
sobrando.
Passo 5
Aplicando a propriedade que vimos no Passo 3:
Aqui, simplesmente substituímos
por
e multiplicamos por
.
Resposta
A integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
Nos itens abaixo, determine se os vetores são paralelos.
(a) e
.
(b) e
.
© e
.
(d) e
.
(a)
(b)
©
(d)
Computar as integrais: b)
;
Usando as técnicas da substituição (direta) ou da integração por partes, encontre a integral indefinida. Justifique sua resposta.
Encontrar o Laplaciano nas coordenadas elípticas
. A relação com as coordenadas Cartesianas é dada por:
, onde
é uma constante.