Calcular as integrais: f) integral-infty^infty x^n de.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral . Aqui, estamos lidando com a função delta de Dirac e suas derivadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função delta e suas derivadas interagem com polinômios como .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a função delta de Dirac, integral-infty^infty de. Ela não é uma função no sentido tradicional, mas sim uma “função” que é zero em todos os lugares, exceto em , onde ela é infinita de forma que sua integral é 1:
Essa função é muito útil para “pegar” o valor de outra função em um ponto específico.

Passo 3

Agora, quando falamos da derivada da função delta, integral-infty^infty f(x) de, estamos falando da n-ésima derivada dessa função. A propriedade importante aqui é:
Isso significa que, ao integrar uma função multiplicada pela n-ésima derivada da delta, obtemos vezes a n-ésima derivada de avaliada em zero.

Passo 4

No nosso caso, a função f(x) = x^n f^(n)(x) = n! é . Precisamos calcular a n-ésima derivada de :
Isso porque, ao derivar n vezes, acabamos com (fatorial de n) e não há mais termos de sobrando.

Passo 5

Aplicando a propriedade que vimos no Passo 3:
integral-infty^infty x^n de
Aqui, simplesmente substituímos por e multiplicamos por .

Resposta

A integral é igual a .

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