Encontrar o Laplaciano nas coordenadas elípticas (u, v, z), u >= 0, 0 <= v < 2 pi. A relação com as coordenadas Cartesianas é dada por: x = c cos u cosh v, y = c sen u sinh v, onde c é uma constante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o Laplaciano nas coordenadas elípticas , onde e . As coordenadas cartesianas (x, y, z) estão relacionadas às elípticas por:
Aqui, c é uma constante. Então, vamos utilizar o conteúdo de cálculo multivariado, especialmente o conceito de coordenadas curvilíneas e o Laplaciano nessas coordenadas. Precisamos saber como expressar o Laplaciano Delta em termos de .

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que o Laplaciano em coordenadas curvilíneas é dado por:
Onde , , e são os coeficientes de escala das coordenadas elípticas.

Passo 3

Vamos determinar os coeficientes de escala , , e . Eles são dados pelas normais dos vetores tangentes ��s coordenadas. Calculando as derivadas parciais de x, y, e z em relação a u, v, e z:

Passo 4

Agora, calculamos os coeficientes de escala utilizando a norma dos vetores tangentes:
Simplificando:
Similarmente:
E para :

Passo 5

Com os coeficientes de escala determinados, podemos substituir na fórmula geral do Laplaciano:
Simplificando os termos:

Passo 6

Vamos simplificar cada termo:
  1. Para a parte em u:
  1. Para a parte em v:
Usando a identidade :
  1. Para a parte em z:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão do Laplaciano:
Simplificando cada termo:
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:
  1. Quarto termo:
Então, juntando tudo:

Passo 8

Ainda, podemos fatorar para deixar a expressão mais elegante. Observando que a terceira termo pode ser combinado com o segundo como um termo de derivada:
Portanto, a forma final do Laplaciano nas coordenadas elípticas é:

Resposta

O Laplaciano nas coordenadas elípticas é dado por:

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