Encontrar o Laplaciano nas coordenadas elípticas
. A relação com as coordenadas Cartesianas é dada por:
, onde
é uma constante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o Laplaciano nas coordenadas elípticas
, onde
e
. As coordenadas cartesianas
estão relacionadas às elípticas por:
Aqui,
é uma constante. Então, vamos utilizar o conteúdo de cálculo multivariado, especialmente o conceito de coordenadas curvilíneas e o Laplaciano nessas coordenadas. Precisamos saber como expressar o Laplaciano
em termos de
.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que o Laplaciano em coordenadas curvilíneas é dado por:
Onde
,
, e
são os coeficientes de escala das coordenadas elípticas.
Passo 3
Vamos determinar os coeficientes de escala
,
, e
. Eles são dados pelas normais dos vetores tangentes ��s coordenadas. Calculando as derivadas parciais de
,
, e
em relação a
,
, e
:
Passo 4
Agora, calculamos os coeficientes de escala utilizando a norma dos vetores tangentes:
Simplificando:
Similarmente:
E para
:
Passo 5
Com os coeficientes de escala determinados, podemos substituir na fórmula geral do Laplaciano:
Simplificando os termos:
Passo 6
Vamos simplificar cada termo:
- Para a parte em
:
- Para a parte em
:
Usando a identidade
:
- Para a parte em
:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão do Laplaciano:
Simplificando cada termo:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
- Quarto termo:
Então, juntando tudo:
Passo 8
Ainda, podemos fatorar para deixar a expressão mais elegante. Observando que a terceira termo pode ser combinado com o segundo como um termo de derivada:
Portanto, a forma final do Laplaciano nas coordenadas elípticas
é:
Resposta
O Laplaciano nas coordenadas elípticas
é dado por: