Encontrar o Laplaciano nas coordenadas elípticas . A relação com as coordenadas Cartesianas é dada por: , onde é uma constante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o Laplaciano nas coordenadas elípticas , onde e . As coordenadas cartesianas estão relacionadas às elípticas por:
Aqui, é uma constante. Então, vamos utilizar o conteúdo de cálculo multivariado, especialmente o conceito de coordenadas curvilíneas e o Laplaciano nessas coordenadas. Precisamos saber como expressar o Laplaciano em termos de .
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que o Laplaciano em coordenadas curvilíneas é dado por:
Onde , , e são os coeficientes de escala das coordenadas elípticas.
Passo 3
Vamos determinar os coeficientes de escala , , e . Eles são dados pelas normais dos vetores tangentes ��s coordenadas. Calculando as derivadas parciais de , , e em relação a , , e :
Passo 4
Agora, calculamos os coeficientes de escala utilizando a norma dos vetores tangentes:
Simplificando:
Similarmente:
E para :
Passo 5
Com os coeficientes de escala determinados, podemos substituir na fórmula geral do Laplaciano:
Simplificando os termos:
Passo 6
Vamos simplificar cada termo:
Para a parte em :
Para a parte em :
Usando a identidade :
Para a parte em :
Passo 7
Substituindo de volta na expressão do Laplaciano:
Simplificando cada termo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Quarto termo:
Então, juntando tudo:
Passo 8
Ainda, podemos fatorar para deixar a expressão mais elegante. Observando que a terceira termo pode ser combinado com o segundo como um termo de derivada:
Portanto, a forma final do Laplaciano nas coordenadas elípticas é:
Resposta
O Laplaciano nas coordenadas elípticas é dado por: