Computar as integrais: b)
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Isso está relacionado ao cálculo de integrais de contorno na matéria de Análise Complexa. Para resolver, vamos precisar entender sobre polos e a Regra dos Resíduos, que nos ajuda a calcular integrais ao redor de contornos fechados.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os polos da função
. Os polos são os valores de
que fazem o denominador igual a zero:
Então, temos polos em
(de ordem 3) e
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar quais desses polos estão dentro do contorno
. Calculando as magnitudes:
Ambos os polos
e
estão dentro do contorno.
Passo 4
Vamos aplicar a Regra dos Resíduos, que diz que a integral ao redor de um contorno fechado é igual a
vezes a soma dos resíduos da função dentro desse contorno:
Passo 5
Vamos calcular os resíduos nos polos
e
.
Resíduo em
:
Como
é um polo simples, o resíduo é:
Resíduo em
:
Primeiro, calculamos as derivadas:
1ª derivada:
2ª derivada:
Simplificando e avaliando em
:
Então,
Resposta
A integral vale
.