Computar as integrais: b) integral|z|=2 e^z d zz^3(z+1);

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Isso está relacionado ao cálculo de integrais de contorno na matéria de Análise Complexa. Para resolver, vamos precisar entender sobre polos e a Regra dos Resíduos, que nos ajuda a calcular integrais ao redor de contornos fechados.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os polos da função z^3(z + 1) = 0 implies z = 0 (triplo) e z = -1 . Os polos são os valores de que fazem o denominador igual a zero:
Então, temos polos em (de ordem 3) e .

Passo 3

Agora, precisamos verificar quais desses polos estão dentro do contorno |0| = 0 < 2 e |-1| = 1 < 2 . Calculando as magnitudes:
Ambos os polos e estão dentro do contorno.

Passo 4

Vamos aplicar a Regra dos Resíduos, que diz que a integral ao redor de um contorno fechado é igual a integral|z|=2 e^z dzz^3(z + 1) = 2pi i ( Resz=0 ( e^zz^3(z + 1) ) + Resz=-1 ( e^zz^3(z + 1) ) ) vezes a soma dos resíduos da função dentro desse contorno:

Passo 5

Vamos calcular os resíduos nos polos Resz=-1 ( e^zz^3(z + 1) ) = e^-1(-1)^3 = -e^-1 e Resz=0 ( e^zz^3(z + 1) ) = 12! limz to 0 d^2dz^2 ( e^z cdot 1z + 1 ) .
Resíduo em ddz ( e^z cdot 1z + 1 ) = e^z cdot 1z + 1 + e^z cdot ( -1(z + 1)^2 ) = e^z ( 1z + 1 - 1(z + 1)^2 ) :
Como d^2dz^2 ( e^z cdot 1z + 1 ) = e^z ( 1z + 1 - 1(z + 1)^2 ) + e^z ( -1(z + 1)^2 + 2(z + 1)^3 ) é um polo simples, o resíduo é:
= e^0 ( 11 - 11^2 ) + e^0 ( -11^2 + 21^3 ) = (1 - 1) + (-1 + 2) = 0 + 1 = 1
Resíduo em Resz=0 ( e^zz^3(z + 1) ) = 12 times 1 = 12 :
é um polo de ordem 3. Para calcular o resíduo, usamos a fórmula para resíduos de ordem :
Primeiro, calculamos as derivadas:
1ª derivada:
2ª derivada:
Simplificando e avaliando em :
Então,

Resposta

A integral vale .

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