Usando as técnicas da substituição (direta) ou da integração por partes, encontre a integral indefinida. Justifique sua resposta. integral x(ln x)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . A matéria envolvida aqui é Cálculo Integral, especificamente as técnicas de substituição (direta) e integração por partes. Para resolver essa integral, vamos precisar aplicar a integração por partes, que é uma técnica útil quando temos o produto de duas funções. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da integral que vão ser integral u , dv = u , v - integral v , du e u = (ln x)^2 e dv = x , dx na fórmula da integração por partes:
Vamos escolher:

Passo 3

Agora, precisamos calcular du = ddx[(ln x)^2] , dx = 2 ln x cdot 1x , dx = 2 ln xx , dx e v = integral x , dx = x^22 :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x (ln x)^2 , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= (ln x)^2 cdot x^22 - integral x^22 cdot 2 ln xx , dx
Simplificando a expressão dentro da integral:
= x^22 (ln x)^2 - integral x ln x , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a nova integral u = ln x e dv = x , dx . Vamos aplicar novamente a integração por partes. Definimos:
du = 1x , dx
Calculando v = x^22 e :

Passo 6

Aplicando a integração por partes na integral integral x ln x , dx = u cdot v - integral v , du :
= ln x cdot x^22 - integral x^22 cdot 1x , dx
Substituindo:
= x^22 ln x - integral x2 , dx
Simplificando a integral:
= x^22 ln x - x^24 + C
Integrando :

Passo 7

Voltando à expressão anterior onde tínhamos:
x^22 (ln x)^2 - integral x ln x , dx
Substituindo o resultado da integral que acabamos de encontrar:
= x^22 (ln x)^2 - ( x^22 ln x - x^24 ) + C
Distribuindo o sinal negativo:
= x^22 (ln x)^2 - x^22 ln x + x^24 + C

Resposta

A integral indefinida é:
integral x(ln x)^2 , dx = x^22 (ln x)^2 - x^22 ln x + x^24 + C

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