Usando as técnicas da substituição (direta) ou da integração por partes, encontre a integral indefinida. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. A matéria envolvida aqui é Cálculo Integral, especificamente as técnicas de substituição (direta) e integração por partes. Para resolver essa integral, vamos precisar aplicar a integração por partes, que é uma técnica útil quando temos o produto de duas funções. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da integral que vão ser
e
na fórmula da integração por partes:
Vamos escolher:
Passo 3
Agora, precisamos calcular
e
:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a nova integral
. Vamos aplicar novamente a integração por partes. Definimos:
Calculando
e
:
Passo 6
Aplicando a integração por partes na integral
:
Substituindo:
Simplificando a integral:
Integrando
:
Passo 7
Voltando à expressão anterior onde tínhamos:
Substituindo o resultado da integral que acabamos de encontrar:
Distribuindo o sinal negativo:
Resposta
A integral indefinida é: