Calcular as integrais :
h) integralln 1 / 2^ln 1 / raiz2 e^xraiz1-e^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral . Esse exercício está ligado ao cálculo de integrais que envolvem substituição trigonométrica. Vamos precisar usar uma troca de variável para simplificar a integral e resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos deixar . Assim, a derivada de em relação a é , ou seja, .

Passo 3

Agora, substituímos integral traiz1 - t^2 cdot dtt = integral 1raiz1 - t^2 , dt por na integral. A expressão fica:
Simplificamos no numerador e denominador.

Passo 4

A integral é uma integral padrão que resulta em , onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos voltar às variáveis originais substituindo arcsin(e^x) + C . Assim, a solução geral é:

Passo 6

Precisamos agora avaliar essa expressão nos limites de integração de até .
Primeiro, calculamos para os limites:
  • Para , .
  • Para , .

Passo 7

Agora, substituímos esses valores na expressão da antiderivada:
arcsin(1raiz2) - arcsin(12)
Sabemos que:

Passo 8

Fazendo a subtração:
pi4 - pi6 = 3pi12 - 2pi12 = pi12

Resposta

O valor da integral é .

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