A condição para que três números a,b e c estejam, simultaneamente em progressão aritmética e progressão geométrica é que:
d)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pergunta qual é a condição para três números , e estarem, ao mesmo tempo, em progressão aritmética (PA) e progressão geométrica (PG). Para resolver isso, vamos precisar entender o que define uma PA e uma PG.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma Progressão Aritmética (PA). Em uma PA, a diferença entre termos consecutivos é sempre a mesma. Ou seja, se , e estão em PA, então:
Isso simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos ver o que é uma Progressão Geométrica (PG). Em uma PG, a razão entre termos consecutivos é sempre a mesma. Portanto, se , e estão em PG, então:
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, temos duas equações:
Queremos encontrar uma condição que satisfaça ambas. Vamos tentar relacionar essas duas equações.

Passo 5

Da equação (1), podemos isolar :
E da equação (2), sabemos que:
Agora, vamos supor que . Se , então da equação , temos:
Então, se e , concluímos que:

Passo 6

Portanto, a única maneira de três números estarem simultaneamente em PA e PG é se todos eles forem iguais.

Resposta

d)

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Mostrar que a seguinte sequência é uma PA
Calcular as integrais :
h)
Determine se a sequência converge ou diverge e se a série converge ou diverge. . (a sequência converge para e a série diverge.)
b) Obtenha o 20o termo da progressão geométrica .