A condição para que três números a,b e c estejam, simultaneamente em progressão aritmética e progressão geométrica é que:
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pergunta qual é a condição para três números
,
e
estarem, ao mesmo tempo, em progressão aritmética (PA) e progressão geométrica (PG). Para resolver isso, vamos precisar entender o que define uma PA e uma PG.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma Progressão Aritmética (PA). Em uma PA, a diferença entre termos consecutivos é sempre a mesma. Ou seja, se
,
e
estão em PA, então:
Isso simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos ver o que é uma Progressão Geométrica (PG). Em uma PG, a razão entre termos consecutivos é sempre a mesma. Portanto, se
,
e
estão em PG, então:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, temos duas equações:
Queremos encontrar uma condição que satisfaça ambas. Vamos tentar relacionar essas duas equações.
Passo 5
Da equação (1), podemos isolar
:
E da equação (2), sabemos que:
Agora, vamos supor que
. Se
, então da equação
, temos:
Então, se
e
, concluímos que:
Passo 6
Portanto, a única maneira de três números estarem simultaneamente em PA e PG é se todos eles forem iguais.
Resposta
d)
Exercícios relacionados
Mostrar que a seguinte sequência é uma PA
Calcular as integrais :
h)
h)
Determine se a sequência
converge ou diverge e se a série
converge ou diverge.
. (a sequência converge para
e a série diverge.)
b) Obtenha o 20o termo da progressão geométrica
.