Determine se a sequência {a_n}_{n in N} converge ou diverge com o seguinte termo geral: a_n = cos(n) (diverge)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a sequência definida por . Nosso objetivo é determinar se essa sequência converge (ou seja, se ela se aproxima de um valor específico) ou diverge (não se aproxima de nenhum valor específico). Para isso, vamos usar conhecimentos básicos de sequências e propriedades da função cosseno.

Passo 2

Vamos analisar o comportamento da sequência . A função cosseno, , sempre retorna valores entre -1 e 1, não importa qual seja o valor de . Isso significa que, para qualquer valor de , estará sempre dentro desse intervalo, ou seja, .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se os valores de se aproximam de algum número específico conforme aumenta. Para uma sequência converger, os termos devem se aproximar cada vez mais de um único valor à medida que cresce. No caso da função cosseno aplicada a números inteiros positivos, não se estabiliza em nenhum valor fixo. Em vez disso, os valores continuam a oscilar entre -1 e 1 sem se aproximar de nenhum ponto específico.

Resposta

Portanto, a sequência definida por diverge.

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