Resolva as integrais indefinidas usando o método das frações parciais.
b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida usando o método das frações parciais. Esse método é parte do cálculo integral e nos ajuda a simplificar frações racionais (aquelas que têm polinômios no numerador e no denominador) para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração em frações parciais. Como o denominador é o produto de dois polinômios quadráticos diferentes e irredutíveis, a decomposição fica assim:
Aqui, , , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:

Passo 4

Vamos expandir os termos do lado direito:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Como essa equação deve ser válida para todo valor de , os coeficientes de cada potência de no lado esquerdo (que é 1) devem ser iguais aos do lado direito. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Resolvendo esse sistema:
  1. Da primeira equação:
  2. Da terceira equação:
  3. Então,
  4. Da segunda equação:
  5. Da quarta equação:
  6. Portanto,

Passo 5

Substituindo os valores encontrados na decomposição inicial:
Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
Sabemos que:
Aplicando isso:

Resposta

A integral indefinida é igual a , onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
n)
Calcular as integrais impróprias, caso sejam convergentes.
c)
Calcular as integrais definidas.
h)
Calcular as integrais seguintes utilizando o método da substituição.
d)