Resolva as integrais indefinidas usando o método das frações parciais.
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral indefinida usando o método das frações parciais. Esse método é parte do cálculo integral e nos ajuda a simplificar frações racionais (aquelas que têm polinômios no numerador e no denominador) para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração em frações parciais. Como o denominador é o produto de dois polinômios quadráticos diferentes e irredutíveis, a decomposição fica assim:
Aqui, , , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:
Passo 4
Vamos expandir os termos do lado direito:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Como essa equação deve ser válida para todo valor de , os coeficientes de cada potência de no lado esquerdo (que é 1) devem ser iguais aos do lado direito. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Resolvendo esse sistema:
Da primeira equação:
Da terceira equação:
Então,
Da segunda equação:
Da quarta equação:
Portanto,
Passo 5
Substituindo os valores encontrados na decomposição inicial:
Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
Sabemos que:
Aplicando isso:
Resposta
A integral indefinida é igual a , onde é a constante de integração.