Resolva as integrais indefinidas usando o método das frações parciais.
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral indefinida usando o método das frações parciais. Esse método é parte do cálculo integral e nos ajuda a simplificar frações racionais (aquelas que têm polinômios no numerador e no denominador) para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração em frações parciais. Como o denominador é o produto de dois polinômios quadráticos diferentes e irredutíveis, a decomposição fica assim:
Aqui, , , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:
Passo 4
Vamos expandir os termos do lado direito:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Como essa equação deve ser válida para todo valor de , os coeficientes de cada potência de no lado esquerdo (que é 1) devem ser iguais aos do lado direito. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Resolvendo esse sistema:
Da primeira equação: C = -A
Da terceira equação: 4A - A = 0 Rightarrow 3A = 0 Rightarrow A = 0
Então, C = -0 = 0
Da segunda equação: D = -B
Da quarta equação: 4B - B = 1 Rightarrow 3B = 1 Rightarrow B = 13
Portanto, D = -13
Passo 5
Substituindo os valores encontrados na decomposição inicial: