Resolva as integrais indefinidas usando o método das frações parciais.
b) integral d x(x^2+1)(x^2+4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida integral dx(x^2+1)(x^2+4) usando o método das frações parciais. Esse método é parte do cálculo integral e nos ajuda a simplificar frações racionais (aquelas que têm polinômios no numerador e no denominador) para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração 1(x^2+1)(x^2+4) em frações parciais. Como o denominador é o produto de dois polinômios quadráticos diferentes e irredutíveis, a decomposição fica assim:
1(x^2+1)(x^2+4) = Ax + Bx^2+1 + Cx + Dx^2+4
Aqui, A, B, C e D são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum (x^2+1)(x^2+4) para eliminar as frações:
1 = (Ax + B)(x^2 + 4) + (Cx + D)(x^2 + 1)

Passo 4

Vamos expandir os termos do lado direito:
1 = A x^3 + 4Ax + Bx^2 + 4B + Cx^3 + Cx + Dx^2 + D
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
1 = (A + C)x^3 + (B + D)x^2 + (4A + C)x + (4B + D)
Como essa equação deve ser válida para todo valor de x, os coeficientes de cada potência de x no lado esquerdo (que é 1) devem ser iguais aos do lado direito. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
A + C = 0 B + D = 0 4A + C = 0 4B + D = 1
Resolvendo esse sistema:
  1. Da primeira equação: C = -A
  2. Da terceira equação: 4A - A = 0 Rightarrow 3A = 0 Rightarrow A = 0
  3. Então, C = -0 = 0
  4. Da segunda equação: D = -B
  5. Da quarta equação: 4B - B = 1 Rightarrow 3B = 1 Rightarrow B = 13
  6. Portanto, D = -13

Passo 5

Substituindo os valores encontrados na decomposição inicial:
1(x^2+1)(x^2+4) = 0x + 13x^2+1 + 0x - 13x^2+4 = 13x^2+1 - 13x^2+4
Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral dx(x^2+1)(x^2+4) = 13 integral dxx^2+1 - 13 integral dxx^2+4
Sabemos que:
integral dxx^2+a^2 = 1a tan^-1(xa) + C
Aplicando isso:
13 tan^-1(x) - 13 cdot 12 tan^-1(x2) + C = 13 tan^-1(x) - 16 tan^-1(x2) + C

Resposta

A integral indefinida é igual a 13 tan^-1(x) - 16 tan^-1(x2) + C, onde C é a constante de integração.

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