Calcular as integrais impróprias, caso sejam convergentes.
d) integral1^+infty(d xx raizx)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral imprópria:
integral1^+infty(d xx raizx)
Isso envolve o conteúdo de cálculo de integrais, mais especificamente integrais impróprias. Para resolver isso, vamos precisar entender como tratar integrais com limites infinitos e verificar se elas convergem ou divergem.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral para facilitar o processo. A gente tem:
1x raizx = 1x cdot x^1/2 = 1x^3/2
Então, a integral fica:
integral1^+infty x^-3/2 , dx

Passo 3

Agora, vamos lembrar como integrar uma função do tipo integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C (desde que n neq -1) . A fórmula é:
No nosso caso, , que não é igual a -1, então podemos aplicar a fórmula normalmente.

Passo 4

Vamos calcular a integral indefinida primeiro:
integral x^-3/2 , dx = x^-3/2 + 1-3/2 + 1 + C = x^-1/2 -1/2 + C = -2 x^-1/2 + C
Então, a integral definida de 1 até b é:
[ -2 x^-1/2 ]1^b = -2 b^-1/2 - (-2 cdot 1^-1/2) = -2 cdot 1raizb + 2

Passo 5

Como estamos lidando com uma integral imprópria que vai até o infinito, precisamos calcular o limite quando limb to +infty ( -2 cdot 1raizb + 2 ) = 0 + 2 = 2 tende ao infinito:
Como o limite existe e é finito, a integral é convergente.

Resposta

O valor da integral é .

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