Calcular as integrais impróprias, caso sejam convergentes.
d)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral imprópria:
Isso envolve o conteúdo de cálculo de integrais, mais especificamente integrais impróprias. Para resolver isso, vamos precisar entender como tratar integrais com limites infinitos e verificar se elas convergem ou divergem.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral para facilitar o processo. A gente tem:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos lembrar como integrar uma função do tipo
. A fórmula é:
No nosso caso,
, que não é igual a -1, então podemos aplicar a fórmula normalmente.
Passo 4
Vamos calcular a integral indefinida primeiro:
Então, a integral definida de 1 até b é:
Passo 5
Como estamos lidando com uma integral imprópria que vai até o infinito, precisamos calcular o limite quando
tende ao infinito:
Como o limite existe e é finito, a integral é convergente.
Resposta
O valor da integral é
.
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f)
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Encontrar o comprimento de arco da curva dada.
e) de
até
e)
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g)
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d)
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