Calcular as integrais seguintes utilizando o método da substituição.
d) integral(e^2 t+2)^13 e^2 t d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral(e^2 t+2)^13 e^2 t dt utilizando o método da substituição. Isso envolve um pouco de cálculo e álgebra, mas vou te guiar passo a passo para facilitar o entendimento.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir para simplificar a integral. Observamos que dentro da potência temos e^2t + 2. Vamos chamar essa expressão de u:
u = e^2t + 2

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a t para substituir dt na integral. Calculando a derivada:
dudt = 2e^2t
Isso significa que:
du = 2e^2t dt Rightarrow dt = du2e^2t

Passo 4

Substituindo u e dt na integral original, ficamos com:
integral u^13 e^2t cdot du2e^2t = 12 integral u^13 du
Note que e^2t se cancela, simplificando a integral.

Passo 5

Agora, vamos integrar u^13 em relação a u. A regra de integração para potências é:
integral u^n du = u^n+1n+1 + C
Aplicando isso aqui, com n = 13:
12 cdot u^4343 + C = 38 u^43 + C

Passo 6

Por fim, voltamos à variável original substituindo u = e^2t + 2:
38 (e^2t + 2)^43 + C

Resposta

A integral integral(e^2 t+2)^13 e^2 t dt é igual a 38 (e^2t + 2)^43 + C, onde C é a constante de integração.

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