Calcular as integrais impróprias, caso sejam convergentes.
g) integral0^4(d xraizx)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral imprópria . A matéria envolve cálculo de integrais, especificamente integrais impróprias, que são aquelas onde a função não está definida ou é infinita em algum ponto do intervalo de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com limites e calcular a integral de funções com comportamentos especiais, como .

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que a integral lima to 0^+ integrala^4 dxraizx é imprópria porque a função se torna infinita quando se aproxima de 0. Para lidar com isso, substituímos o limite inferior 0 por um valor , onde tende a 0. Assim, reescrevemos a integral como:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral integral x^-1/2 dx = x^(-1/2)+1(-1/2)+1 + C = x^1/21/2 + C = 2raizx + C . A função pode ser escrita como , e a integral de é para . Aplicando isso:

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração de integrala^4 dxraizx = [ 2raizx ]a^4 = 2raiz4 - 2raiza = 4 - 2raiza a 4:

Passo 5

Finalmente, tomamos o limite quando lima to 0^+ (4 - 2raiza) = 4 - 0 = 4 tende a 0:

Resposta

A integral imprópria converge e seu valor é 4.

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