Encontrar o comprimento de arco da curva dada.
e) y = raiz(x^3) de P0(0,0) até P1(4,8)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco da curva que vai do ponto até o ponto . Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente sobre comprimento de arco de uma função. Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de um arco de uma função entre dois pontos e :
Aqui, é a derivada da função em relação a .

Passo 3

No nosso caso, a função é . Vamos primeiro encontrar a derivada .
Então,

Passo 4

Agora, vamos substituir na fórmula do comprimento do arco:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então,

Passo 5

Para facilitar a integração, vamos fatorar a expressão dentro da raiz:
Então,

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral . Para isso, fazemos uma substituição:
Seja , então , ou seja, .
Substituindo na integral:
Integrando:
Voltando para :

Passo 7

Agora, aplicando os limites de a , temos:
Calculando os valores:
Então,

Passo 8

Vamos calcular e :
Então,

Resposta

O comprimento do arco da curva de até é aproximadamente unidades.

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