Encontrar o comprimento de arco da curva dada.
e)
de
até
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco da curva
que vai do ponto
até o ponto
. Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente sobre comprimento de arco de uma função. Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de um arco de uma função
entre dois pontos
e
:
Aqui,
é a derivada da função
em relação a
.
Passo 3
No nosso caso, a função é
. Vamos primeiro encontrar a derivada
.
Então,
Passo 4
Agora, vamos substituir
na fórmula do comprimento do arco:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então,
Passo 5
Para facilitar a integração, vamos fatorar a expressão dentro da raiz:
Então,
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral
. Para isso, fazemos uma substituição:
Seja
, então
, ou seja,
.
Substituindo na integral:
Integrando:
Voltando para
:
Passo 7
Agora, aplicando os limites de
a
, temos:
Calculando os valores:
Então,
Passo 8
Vamos calcular
e
:
Então,
Resposta
O comprimento do arco da curva
de
até
é aproximadamente
unidades.