Calcular as integrais impróprias, caso sejam convergentes.
f)

Passo 1

Vamos calcular a integral imprópria . Este exercício trata de integrais impróprias, que são aquelas onde os limites de integração incluem infinito ou onde a função a ser integrada não é limitada no intervalo de integração. Para resolver este problema, vamos precisar entender como integrar funções do tipo e utilizar o conceito de limite para determinar a convergência da integral.

Passo 2

Primeiro, reconhecemos que a integral tem uma antiderivada conhecida. A fórmula para essa integral é:
onde é a constante de integração e é a função arco-tangente.

Passo 3

No nosso caso, a constante é igual a 3, já que a integral é . Então, a antiderivada fica:

Passo 4

Agora, vamos aplicar os limites de integração de 3 até . Como estamos lidando com uma integral imprópria, devemos calcular o limite quando tende ao infinito:

Passo 5

Vamos resolver cada parte separadamente. Primeiro, calculamos quando tende ao infinito. Sabemos que:
Isso porque a tangente inversa de um número muito grande aproxima-se de .
Em seguida, calculamos :

Passo 6

Substituindo esses valores na expressão da integral, temos:
Simplificando dentro dos parênteses:
Então:

Resposta

A integral converge e seu valor é .

Exercícios relacionados

Encontrar o comprimento de arco da curva dada.
e) de até
Calcular as integrais impróprias, caso sejam convergentes.
i)
Calcular as integrais impróprias, caso sejam convergentes.
d)
Calcular as integrais impróprias, caso sejam convergentes.
g)