Calcular as integrais impróprias, caso sejam convergentes.
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Passo 1
Vamos calcular a integral imprópria
. Este exercício trata de integrais impróprias, que são aquelas onde os limites de integração incluem infinito ou onde a função a ser integrada não é limitada no intervalo de integração. Para resolver este problema, vamos precisar entender como integrar funções do tipo
e utilizar o conceito de limite para determinar a convergência da integral.
Passo 2
Primeiro, reconhecemos que a integral
tem uma antiderivada conhecida. A fórmula para essa integral é:
onde
é a constante de integração e
é a função arco-tangente.
Passo 3
No nosso caso, a constante
é igual a 3, já que a integral é
. Então, a antiderivada fica:
Passo 4
Agora, vamos aplicar os limites de integração de 3 até
. Como estamos lidando com uma integral imprópria, devemos calcular o limite quando
tende ao infinito:
Passo 5
Vamos resolver cada parte separadamente. Primeiro, calculamos
quando
tende ao infinito. Sabemos que:
Isso porque a tangente inversa de um número muito grande aproxima-se de
.
Em seguida, calculamos
:
Passo 6
Substituindo esses valores na expressão da integral, temos:
Simplificando dentro dos parênteses:
Então:
Resposta
A integral
converge e seu valor é
.