Calcular as integrais impróprias, caso sejam convergentes.
f) integral3^+infty(d xx^2+9)

Passo 1

Vamos calcular a integral imprópria . Este exercício trata de integrais impróprias, que são aquelas onde os limites de integração incluem infinito ou onde a função a ser integrada não é limitada no intervalo de integração. Para resolver este problema, vamos precisar entender como integrar funções do tipo e utilizar o conceito de limite para determinar a convergência da integral.

Passo 2

Primeiro, reconhecemos que a integral integral dxx^2 + a^2 = 1a tan^-1(xa) + C tem uma antiderivada conhecida. A fórmula para essa integral é:
onde é a constante de integração e é a função arco-tangente.

Passo 3

No nosso caso, a constante integral dxx^2 + 9 = 13 tan^-1(x3) + C é igual a 3, já que a integral é . Então, a antiderivada fica:

Passo 4

Agora, vamos aplicar os limites de integração de 3 até integral3^+infty dxx^2 + 9 = limb to +infty [ 13 tan^-1(b3) - 13 tan^-1(33) ] . Como estamos lidando com uma integral imprópria, devemos calcular o limite quando tende ao infinito:

Passo 5

Vamos resolver cada parte separadamente. Primeiro, calculamos limb to +infty tan^-1(b3) = pi2 quando tan^-1(1) = pi4 tende ao infinito. Sabemos que:
Isso porque a tangente inversa de um número muito grande aproxima-se de .
Em seguida, calculamos :

Passo 6

Substituindo esses valores na expressão da integral, temos:
limb to +infty [ 13 cdot pi2 - 13 cdot pi4 ] = 13 ( pi2 - pi4 )
Simplificando dentro dos parênteses:
pi2 - pi4 = pi4
Então:
13 cdot pi4 = pi12

Resposta

A integral converge e seu valor é .

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