Calcular as integrais seguintes utilizando o método da substituição.
e) integral tg x sec ^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de tg x sec^2 x , dx usando o método da substituição. Esse método é ótimo quando a gente identifica partes da função que se relacionam de forma que uma é a derivada da outra. Vamos precisar lembrar das derivadas das funções trigonométricas envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que cada termo representa:
  • tg x é a tangente de x.
  • sec x é a secante de x, e sec^2 x é a secante ao quadrado de x.

Passo 3

Agora, vamos escolher uma parte da função para realizar a substituição. Olhando para a integral integral tg x sec^2 x , dx, vamos deixar tg x como nossa parte u.
Então, vamos definir:
u = tg x

Passo 4

Com u = tg x, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx na integral.
A derivada de tg x é:
dudx = sec^2 x
Então,
du = sec^2 x , dx

Passo 5

Agora, vamos reescrever a integral original usando nossa substituição. Substituímos tg x por u e sec^2 x , dx por du.
A integral fica:
integral u , du

Passo 6

Essa integral é bem simples de resolver. A gente sabe que:
integral u , du = u^22 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, vamos substituir u de volta pela expressão original em termos de x.
Lembrando que u = tg x, temos:
u^22 + C = (tg x)^22 + C

Resposta

Portanto, a integral de tg x sec^2 x , dx é:
tg^2 x2 + C

Exercícios relacionados