Calcular as integrais seguintes utilizando o método da substituição.
e)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de usando o método da substituição. Esse método é ótimo quando a gente identifica partes da função que se relacionam de forma que uma é a derivada da outra. Vamos precisar lembrar das derivadas das funções trigonométricas envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que cada termo representa:
  • é a tangente de .
  • é a secante de , e é a secante ao quadrado de .

Passo 3

Agora, vamos escolher uma parte da função para realizar a substituição. Olhando para a integral , vamos deixar como nossa parte .
Então, vamos definir:

Passo 4

Com , precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir na integral.
A derivada de é:
Então,

Passo 5

Agora, vamos reescrever a integral original usando nossa substituição. Substituímos por e por .
A integral fica:

Passo 6

Essa integral é bem simples de resolver. A gente sabe que:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, vamos substituir de volta pela expressão original em termos de .
Lembrando que , temos:

Resposta

Portanto, a integral de é:

Exercícios relacionados

Calcular as integrais seguintes utilizando o método da substituição.
d)
Calcular as integrais impróprias, caso sejam convergentes.
g)
Calcular as integrais seguintes utilizando o método da substituição.
j)
Calcule o limite, se existir.
h)