Calcular as integrais seguintes utilizando o método da substituição.
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de
usando o método da substituição. Esse método é ótimo quando a gente identifica partes da função que se relacionam de forma que uma é a derivada da outra. Vamos precisar lembrar das derivadas das funções trigonométricas envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que cada termo representa:
-
é a tangente de . -
é a secante de , e é a secante ao quadrado de .
Passo 3
Agora, vamos escolher uma parte da função para realizar a substituição. Olhando para a integral
, vamos deixar
como nossa parte
.
Então, vamos definir:
Passo 4
Com
, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
na integral.
A derivada de
é:
Então,
Passo 5
Agora, vamos reescrever a integral original usando nossa substituição. Substituímos
por
e
por
.
A integral fica:
Passo 6
Essa integral é bem simples de resolver. A gente sabe que:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, vamos substituir
de volta pela expressão original em termos de
.
Lembrando que
, temos:
Resposta
Portanto, a integral de
é:
Exercícios relacionados
Calcular as integrais seguintes utilizando o método da substituição.
d)
d)
Calcular as integrais impróprias, caso sejam convergentes.
g)
g)
Calcular as integrais seguintes utilizando o método da substituição.
j)
j)
Calcule o limite, se existir.
h)
h)