Calcular as integrais impróprias, caso sejam convergentes.
e) integral-infty^+infty(x d x(x^2+1)^2)

Passo 1

Beleza, então a gente tem um exercício que pede para calcular uma integral imprópria, especificamente:
integral-infty^+infty(x, dx(x^2+1)^2)
Esse tipo de integral faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente das integrais impróprias, que são aquelas com limites infinitos ou com descontinuidades na função. Para resolver, vamos precisar entender sobre simetria de funções e propriedades das integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função que estamos integrando:
f(x) = x(x^2+1)^2
Perceba que o numerador tem um “x” e o denominador é uma função par (ou seja, f(-x) = f(x) quando substituímos x por -x). Vamos verificar se essa função é ímpar ou par.

Passo 3

Vamos testar a paridade da função:
Como f(-x) = -x(-x)^2+1^2 = -x(x^2+1)^2 = -x(x^2+1)^2 = -f(x) , a função é ímpar.

Passo 4

Sabemos que a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em relação à origem, ou seja, de -a a a, é igual a zero:
integral-a^a f(x) , dx = 0 se f(x) for ímpar í
No nosso caso, os limites são de -infty a +infty, que também é um intervalo simétrico.

Passo 5

Portanto, aplicando essa propriedade, temos:
integral-infty^+infty(x, dx(x^2+1)^2) = 0

Resposta

integral-infty^+infty(x, dx(x^2+1)^2) = 0

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