Calcular as integrais impróprias, caso sejam convergentes.
i) integral0^4(e^-raizxraizx d x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral imprópria . Isso está ligado ao conteúdo de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias. Precisamos verificar se essa integral converge (ou seja, se ela tem um valor finito) e, se sim, calcular esse valor. Para isso, vamos analisar o comportamento da função perto de 0 e usar técnicas de integração apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender por que essa integral é imprópria. A função integral0^4 e^-raizxraizx dx = lima to 0^+ integrala^4 e^-raizxraizx dx tem um denominador , que se aproxima de 0 quando se aproxima de 0. Isso faz com que a função tenda ao infinito nesse ponto, criando uma descontinuidade. Então, para tratar essa integral, vamos reescrevê-la como um limite:

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral u = raizx Rightarrow x = u^2 Rightarrow dx = 2u , du . Para isso, vamos fazer uma substituição que simplifica a expressão. Vamos definir:
integral e^-raizxraizx dx = integral e^-uu cdot 2u , du = 2 integral e^-u du
Substituindo na integral:

Passo 4

Agora, a integral ficou bem mais simples:
2 integral e^-u du = -2 e^-u + C
Voltando à variável original -2 e^-raizx + C :

Passo 5

Vamos agora aplicar os limites de integração de integrala^4 e^-raizxraizx dx = [ -2 e^-raizx ]a^4 = -2 e^-raiz4 + 2 e^-raiza = -2 e^-2 + 2 e^-raiza a 4:

Passo 6

Agora, aplicamos o limite quando lima to 0^+ ( -2 e^-2 + 2 e^-raiza ) = -2 e^-2 + 2 e^0 = -2 e^-2 + 2 = 2 - 2 e^-2 tende a 0:

Resposta

A integral imprópria converge e seu valor é .

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