Calcular as integrais impróprias, caso sejam convergentes.
i)
i)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral imprópria
. Isso está ligado ao conteúdo de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias. Precisamos verificar se essa integral converge (ou seja, se ela tem um valor finito) e, se sim, calcular esse valor. Para isso, vamos analisar o comportamento da função
perto de 0 e usar técnicas de integração apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender por que essa integral é imprópria. A função
tem um denominador
, que se aproxima de 0 quando
se aproxima de 0. Isso faz com que a função tenda ao infinito nesse ponto, criando uma descontinuidade. Então, para tratar essa integral, vamos reescrevê-la como um limite:
Passo 3
Agora, vamos resolver a integral
. Para isso, vamos fazer uma substituição que simplifica a expressão. Vamos definir:
Substituindo na integral:
Passo 4
Agora, a integral ficou bem mais simples:
Voltando à variável original
:
Passo 5
Vamos agora aplicar os limites de integração de
a 4:
Passo 6
Agora, aplicamos o limite quando
tende a 0:
Resposta
A integral imprópria
converge e seu valor é
.
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c)
c)
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f) e
f)
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e) de
até
e)
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f)
f)