Resolva as integrais indefinidas usando o método das frações parciais.
g) integral 4 x^4x^4-x^3-6 x^2+4 x+8 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida usando o método das frações parciais. A questão que temos é:
integral 4 x^4x^4 - x^3 - 6 x^2 + 4 x + 8 , dx
Vamos precisar entender sobre frações parciais e fatoração de polinômios para simplificar essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada nos graus do numerador e do denominador. Ambos são de 4, então precisamos fazer uma divisão polinomial para simplificar antes de aplicar as frações parciais.

Passo 3

Vamos fatorar o denominador 2^4 - 2^3 - 6 cdot 2^2 + 4 cdot 2 + 8 = 16 - 8 - 24 + 8 + 8 = 0 . Usando o Teorema das Raízes Racionais, testamos possíveis raízes como x^4 - x^3 - 6 x^2 + 4 x + 8 = (x - 2)(x^3 + x^2 - 4x - 4) :
Então, é um fator. Fazendo a divisão, obtemos:

Passo 4

Agora, vamos fatorar (-1)^3 + (-1)^2 - 4(-1) - 4 = -1 + 1 + 4 - 4 = 0 . Testando x^3 + x^2 - 4x - 4 = (x + 1)(x^2 - 4) = (x + 1)(x - 2)(x + 2) :
(x - 2)^2(x + 1)(x + 2)
Então, é outro fator. Continuando a fatoração:
Portanto, o denominador todo fica:

Passo 5

Agora, vamos expressar a fração 4x^4(x - 2)^2(x + 1)(x + 2) = Ax - 2 + B(x - 2)^2 + Cx + 1 + Dx + 2 como soma de frações parciais:

Passo 6

Multiplicamos ambos os lados pelo denominador para eliminar as frações:
4x^4 = A(x - 2)(x + 1)(x + 2) + B(x + 1)(x + 2) + C(x - 2)^2(x + 2) + D(x - 2)^2(x + 1)

Passo 7

Vamos encontrar os valores de 4(2)^4 = B(3)(4) Rightarrow 64 = 12B Rightarrow B = 163 e 4(-1)^4 = C(-3)^2(1) Rightarrow 4 = 9C Rightarrow C = 49 substituindo valores estratégicos de 4(-2)^4 = D(-4)^2(-1) Rightarrow 64 = -16D Rightarrow D = -4 :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 8

Para encontrar 0 = A(-2)(1)(2) + 163(1)(2) + 49( -2)^2(2) + (-4)(-2)^2(1) , escolhemos 0 = -4A + 323 + 329 - 16 :
0 = -4A - 169 Rightarrow 4A = -169 Rightarrow A = -49
Simplificando:
Convertendo para novenos:

Passo 9

Agora que temos todos os coeficientes, podemos reescrever a integral:
integral 4x^4(x - 2)^2(x + 1)(x + 2) , dx = integral ( -49x - 2 + 163(x - 2)^2 + 49x + 1 + -4x + 2 ) dx

Resposta

Integrando cada termo, obtemos:
-49 ln|x - 2| - 163(x - 2) + 49 ln|x + 1| - 4 ln|x + 2| + C
Onde -49 ln|x - 2| - 163(x - 2) + 49 ln|x + 1| - 4 ln|x + 2| + C é a constante de integração. Portanto, a solução da integral é:

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