Calcular as integrais indefinidas:
d) integral d x(3 x-5)^8

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral indefinida de em relação a . Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente lidando com integrais de funções racionais usando substituição. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição (também conhecida como mudança de variável).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função dentro da integral que podemos substituir por uma nova variável. Olha só, o denominador é u = 3x - 5 . Vamos chamar esse termo de :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 3 Rightarrow du = 3,dx Rightarrow dx = du3 em relação a para substituir o na integral. Derivando :

Passo 4

Substituindo integral dx(3x - 5)^8 = integral du3u^8 = 13 integral u^-8 , du e na integral original:

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u^n , du = u^n+1n+1 + C (para n neq -1) em relação a integral u^-8 , du = u^-7-7 + C = -17 u^-7 + C . A regra de integração para potências é:
Aplicando essa regra:

Passo 6

Voltando à variável original -17 u^-7 + C = -17 (3x - 5)^-7 + C , substituímos por :

Resposta

Portanto, a integral indefinida é:
integral dx(3x - 5)^8 = -121 (3x - 5)^-7 + C

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