Calcular as integrais indefinidas.
h) integral raiz4x^4-x^2 d x

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é uma integral indefinida para resolver:
integral raiz4x^4 - x^2 , dx
Essa é uma questão de cálculo envolvendo integrais e funções racionais com raiz quadrada. Pra resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Dá pra reescrever a fração:
raiz4x^4 - x^2 = raiz4x^2(x^2 - 1) = 2x raizx^2 - 1
Aqui, a gente fatorou o denominador para facilitar a substituição depois.

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para deixar a integral mais simples. Vamos definir:
t = raizx^2 - 1
Então, elevando ao quadrado ambos os lados:
t^2 = x^2 - 1 implies x^2 = t^2 + 1

Passo 4

Vamos derivar ambos os lados em relação a ddx(t^2) = ddx(x^2 - 1) implies 2t dtdx = 2x para encontrar dx = tx dt :
Isolando :

Passo 5

Substituindo integral 2x raizx^2 - 1 , dx = integral 2x t cdot tx dt = integral 2x^2 dt e integral 2t^2 + 1 dt na integral original:
Mas sabemos que , então:

Passo 6

Essa integral é padrão e sabemos que:
integral 1t^2 + 1 dt = arctan(t) + C
Então, multiplicando por 2:
2 arctan(t) + C

Passo 7

Finalmente, voltando à variável original 2 arctan(raizx^2 - 1) + C :

Resposta

A solução da integral é:
2 arctan(raizx^2 - 1) + C

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