Calcule as integrais trigonométricas abaixo: integral sen(2 x) sen(5 x) dx.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral que é . Aqui, estamos lidando com uma integral de funções trigonométricas, especificamente o produto de duas funções seno. Para resolver isso, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que nos ajuda a transformar o produto de senos em uma soma, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a identidade trigonométrica que transforma o produto de senos em uma soma. A identidade é:
Aqui, sen(A) sen(B) = 12 [ cos(A - B) - cos(A + B) ] e . Vamos aplicar essa identidade na nossa integral.

Passo 3

Aplicando os valores de sen(2x) sen(5x) = 12 [ cos(2x - 5x) - cos(2x + 5x) ] = 12 [ cos(-3x) - cos(7x) ] e sen(2x) sen(5x) = 12 [ cos(3x) - cos(7x) ] , temos:
Lembrando que , então:

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão na integral original:
Podemos fatorar o integral sen(2x) sen(5x) , dx = integral 12 [ cos(3x) - cos(7x) ] , dx para facilitar:
12 integral [ cos(3x) - cos(7x) ] , dx

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso aos nossos termos:

Passo 6

Substituindo as integrais na expressão:
Podemos simplificar os coeficientes:

Resposta

A integral de é:

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