Use as propriedades das integrais para verificar a desigualdade sem calcular as integrais.

Passo 1

Então, a gente tem uma desigualdade envolvendo duas integrais:
O objetivo aqui é verificar se essa desigualdade é verdadeira sem precisar calcular as integrais. Para isso, vamos usar as propriedades das integrais e comparar as funções dentro das integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as funções dentro das integrais:
  • Na integral da esquerda:
  • Na integral da direita:
Queremos saber qual das duas funções é maior em todo o intervalo de integração, que vai de 0 a 1.

Passo 3

Vamos comparar e para entre 0 e 1. Isso significa verificar se:
Vamos simplificar essa desigualdade para facilitar a comparação. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado (já que as funções são não negativas):

Passo 4

Agora, subtraímos 1 de ambos os lados:
Em seguida, trazemos todos os termos para um lado:
Fatorando:

Passo 5

Essa inequação significa que o produto de e é menor ou igual a zero. Isso acontece quando:
  • está entre 0 e 1.
Como nosso intervalo de integração é exatamente de 0 a 1, a desigualdade é válida em todo o intervalo.

Resposta

Portanto, usando a comparação das funções dentro das integrais, verificamos que:

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