Use as propriedades das integrais para verificar a desigualdade sem calcular as integrais.
Passo 1
Então, a gente tem uma desigualdade envolvendo duas integrais:
O objetivo aqui é verificar se essa desigualdade é verdadeira sem precisar calcular as integrais. Para isso, vamos usar as propriedades das integrais e comparar as funções dentro das integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as funções dentro das integrais:
- Na integral da esquerda:
- Na integral da direita:
Queremos saber qual das duas funções é maior em todo o intervalo de integração, que vai de 0 a 1.
Passo 3
Vamos comparar
e
para
entre 0 e 1. Isso significa verificar se:
Vamos simplificar essa desigualdade para facilitar a comparação. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado (já que as funções são não negativas):
Passo 4
Agora, subtraímos 1 de ambos os lados:
Em seguida, trazemos todos os termos para um lado:
Fatorando:
Passo 5
Essa inequação
significa que o produto de
e
é menor ou igual a zero. Isso acontece quando:
-
está entre 0 e 1.
Como nosso intervalo de integração é exatamente de 0 a 1, a desigualdade
é válida em todo o intervalo.
Resposta
Portanto, usando a comparação das funções dentro das integrais, verificamos que: