Calcular as integrais indefinidas.
integral(8 x^5-3 x^4+7 x^3+3x+raizx) d x

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede. Precisamos calcular a integral indefinida de uma função polinomial composta por vários termos. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais, especificamente usando a regra do poder. Para resolver isso, vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a regra do poder para integrais:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
onde é qualquer número real diferente de . Isso significa que para cada termo da nossa função, aumentamos o expoente em 1 e dividimos pelo novo expoente.

Passo 3

Vamos aplicar essa regra ao primeiro termo integral 8x^5 , dx = 8 cdot x^66 = 43x^6 :
Aqui, aumentamos o expoente de 5 para 6 e dividimos 8 por 6, simplificando para .

Passo 4

Agora, para o segundo termo integral -3x^4 , dx = -3 cdot x^55 = -35x^5 :
Aumentamos o expoente de 4 para 5 e multiplicamos por -3, resultando em .

Passo 5

Para o terceiro termo integral 7x^3 , dx = 7 cdot x^44 = 74x^4 :
Aqui, o expoente sobe de 3 para 4 e dividimos 7 por 4, obtendo .

Passo 6

O quarto termo é integral 1x , dx = ln|x| + C , que pode ser reescrito como integral 3x , dx = 3 ln|x| . A regra do poder não se aplica diretamente quando , mas sabemos que:
Então:

Passo 7

Finalmente, para o último termo integral x^1/2 , dx = x^3/23/2 = 23x^3/2 , que é igual a :
Aumentamos o expoente de para e multiplicamos por .

Resposta

Juntando todos os resultados, a integral indefinida é:
43x^6 - 35x^5 + 74x^4 + 3 ln|x| + 23x^3/2 + C
onde é a constante de integração.

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